Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Differentialformen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Der Satz von Stokes sagt anschaulich, dass sich der Wert einer Größe innerhalb der Mannigfaltigkeit genau um so viel ändert, wie Anteile der Größe über den Rand hinausströmen. Wir integrieren also die Änderung über eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit und den Fluß über eine $n-1$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dazu betrachten wir Volumenfunktionen: die $k$-Form IN JEDEM PUNKT und integrieren diese. Die Volumenfunktion lebt auf einem Vektorraum, dazu verwenden wir den Tangentialraum, z.B. auf dem Standard-Beispiel einer Kugeloberfläche. Der Tangentialraum ist dabei in jedem Punkt ein anderer.

Wir werden sehen, dass sich über die Determinante aus linearen Abbildungen alle alternierende $k$-Formen (sprich $k$-dimensionale Volumenfunktionen) konstruieren lassen; zudem läßt sich aus zwei alternierenden Formen wieder eine neue alternierende $k$-Form konstruieren über das Dachprodukt. Die alternierenden $k$-Formen lassen sich auch von einem Tangentialraum in den nächsten transportieren mit einer differenzierbaren Funktion $f$, wobei automatisch über Anwendung von $df$ berücksichtigt wird, dass sich das Volumen unter Anwendung von $f$ ändert.

Insbesondere benötigen wir für den Satz von Stokes die Inklusionsabbildung $i:\mathbb {R} ^{n-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$, die einfach den $\mathbb {R} ^{n-1}$ in den $\mathbb {R} ^{n}$ abbildet und die erste Komponente dazu Null belässt.

Satz

Sei $\mathbb {R} _{p}^{n}$ der Tangentialraum im Punkt $p$. Auf diesem Vektorraum betrachten wir (punktweise) nun:

a) Die linearen Funktionen vom Tangentialraum nach $\mathbb {R}$

$W^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})=\{f:\mathbb {R} _{p}^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,v\mapsto f(v){\text{ ist linear}}\}$

bilden einen Vektorraum.

b) Sei $e_{1},\ldots ,e_{n}$ eine Basis von $\mathbb {R} _{p}^{n}$, sei $a_{i}\in \mathbb {R}$ und

$dx_{i}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}\mapsto a_{i}$

Dann gilt

$(dx_{i})_{p}(e_{j})=\left\{{\begin{array}{ll}0&{\text{falls }}i\neq j\\1&{\text{falls }}i=j\\\end{array}}\right.$

c) $(dx_{1})_{p},\ldots ,(dx_{n})_{p}$ ist eine Basis von $W^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})$:

$\forall w\in W^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n}):\ w=\sum _{i=1}^{n}w(e_{i})dx_{i}$

Die $dx_{i}$ heißen duale Basis und sind genau an die gewählte (!) Basis angepasst.

Beweis

:

a) Seien $f,g\in W^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})$ und $a\in \mathbb {R}$. Dann ist $f+ag:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ wieder linear, wie wir aus der linearen Algebra wissen.

b) Nach Definition von $dx_{i}$ gilt

$(dx_{i})_{p}(1\cdot e_{j})=\left\{{\begin{array}{ll}0&{\text{falls }}i\neq j\\1&{\text{falls }}i=j\\\end{array}}\right.$

c) Erzeugendensystem: Sei $w:\mathbb {R} _{p}^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,v\mapsto w(v)$ linear und $v\in \mathbb {R} _{p}^{n}$ beliebig. Mit der Linearität und der Definition von $dx_{i}$ folgt

${\begin{aligned}w(v)=&w\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}e_{i}\right)\\=&\sum _{i=1}^{n}w(e_{i})v_{i}\\=&\sum _{i=1}^{n}w(e_{i})(dx_{i})_{p}\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}e_{i}\right)\\=&\left(\sum _{i=1}^{n}w(e_{i})(dx_{i})_{p}\right)(v)\end{aligned}}$

linear unabhängig: Sei

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}dx_{i}\equiv 0$

Einsetzen von $e_{j}$ ergibt

$0=\sum _{i=1}^{n}a_{i}dx_{i}(e_{j})=a_{j}$

d.h.

$\forall 1\leq i\leq n:\ a_{i}=0$

Damit bilden die $dx_{i}$ eine Basis.

Mit den $dx_{i}$ passt man die linearen $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ an die gewählte Basis $e_{i}$ an. Wir hatten in der Maßtheorie (verallgemeinerte) Volumina von Quadern im $\mathbb {R} ^{n}$ betrachtet, da waren die Vektoren automatisch linear unabhängig, das ist nicht selbstverständlich, und unsere Volumenfunktion soll das bemerken: im $\mathbb {R} ^{n}$ sollen $n$ linear abhängige Vektoren automatisch ein Volumen der Größe Null aufspannen. Es reicht in der Definition zu fordern: Die Volumenfunktion wird Null, wenn zwei Vektoren gleich sind. Diese Eigenschaft nennen wir alternierend.

In der Differentialgeometrie haben wir zwei Orientierungen einer Basis kennengelernt. Diese wollen wir berücksichtigen, indem ein Volumen ein Vorzeichen bekommt. Beide Forderungen erfüllt genau die Determinante der linearen Algebra.

Definition

Eine Abbildung

$w:\mathbb {R} _{p}^{n}\times \ldots \times \mathbb {R} _{p}^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto w(v_{1},\ldots ,v_{k})$

heißt alternierend genau dann wenn

$w(v_{1},\ldots ,v_{k})=0$, wenn zwei $v_{j}$ gleich sind.

Sei $k>1$ und $W^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})$ die Menge aller $k$-linearen, alternierenden Abbildungen

$w:\mathbb {R} _{p}^{n}\times \ldots \times \mathbb {R} _{p}^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto w(v_{1},\ldots ,v_{k})$

Dann ist $W^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})$ ein Vektorraum.

$W^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})$ sind die linearen Abbildungen.

Beweis

$w+c{\overline {w}}$ ist wieder </math>k</math>-linear, d.h. in jeder Komponente linear.

${\begin{aligned}(w+c{\overline {w}})(v_{1},\ldots ,v_{j}+a{\tilde {v}}_{j},\ldots ,v_{k}){\stackrel {\text{Def}}{=}}&w(v_{1},\ldots ,v_{j}+a{\tilde {v}}_{j},\ldots ,v_{k})+c{\overline {w}}(v_{1},\ldots ,v_{j}+a{\tilde {v}}_{j},\ldots ,v_{k})\\=&w(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{k})+aw(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{k})\\&+c({\overline {w}}(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{k})+a{\overline {w}}(v_{1},\ldots ,{\tilde {v}}_{j},\ldots ,v_{k}))\\=&(w+c{\overline {w}})(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{k})+a(w+c{\overline {w}})(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{k})\end{aligned}}$

Gilt $v_{i}=v_{j}$, so folgt

${\begin{aligned}(w+c{\overline {w}})(v_{1},\ldots ,v_{k}){\stackrel {\text{Def}}{=}}&w(v_{1},\ldots ,v_{k})+c{\overline {w}}(v_{1},\ldots ,v_{k})\\=&0+c\cdot 0=0\end{aligned}}$

Damit ist $w+c{\overline {w}}$ alternierend.

Satz

Alternierende $k$-lineare Abbildungen lassen sich über die Determinante aus linearen Abbildungen konstruieren:

Für lineare Abbildungen $h_{1},\ldots ,h_{k}\in W^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})$ erhält man eine alternierende $k$-Form

$h_{1}\wedge \ldots \wedge h_{k}\in W^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})$

durch die Determinante

$(h_{1}\wedge \ldots \wedge h_{k})(v_{1},\ldots ,v_{k}):=\det \left({\begin{array}{ccc}h_{1}(v_{1})&\cdots &h_{1}(v_{k})\\\vdots &&\vdots \\h_{k}(v_{1})&\cdots &h_{k}(v_{k})\\\end{array}}\right)$

Insbesondere ist

$(dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}})_{p}:=(dx_{i_{1}})_{p}\wedge \ldots \wedge (dx_{i_{k}})_{p}\in W^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})$

b) Gilt $dx_{i}=dx_{j}$ so wird die $k$-Form Null.

c) Vertauscht man $dx_{j}$ und $dx_{l}$, so ändert sich das Vorzeichen der Volumenfunktion gemäß $(-1)^{m}$, mit $m$= Anzahl der Vertauschungen von benachbarten $dx_{i}$. Damit genügt es, $dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$ zu betrachten, für $i_{1}<\ldots <i_{k}$.

Beweis

a) Da $h_{i}$ linear und $\det$ linear in jeder Spalte, ist $h_{1}\wedge \ldots \wedge h_{k}$ linear in jeder Spalte und $h_{1}\wedge \ldots \wedge h_{k}$ ist $k$-linear. Sei $v_{i}=v_{j}$. Dann sind die $i$-te und $j$-te Spalte gleich und

${\begin{aligned}(h_{1}\wedge \ldots \wedge h_{k})(v_{1}\ldots ,v_{k})=&\det(h_{i}(v_{j}))\\=&0\end{aligned}}$

Damit ist $h_{1}\wedge \ldots \wedge h_{k}$ alternierend.

b) Für $dx_{i}=dx_{j}$ sind zwei Zeilen der Determinante gleich und die Determinante wird Null.

c) In der Determinante müssen $m$-Mal benachbarte Zeilen vertauscht werden, was einen Faktor $(-1)^{m}$ bedingt.

Satz

a) Es gilt

$dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{k}})=\delta _{i_{1},j_{1}}\cdot \ldots \cdot \delta _{i_{k},j_{k}}$

b) Eine Basis für $W^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})$ ist

$\{(dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}})_{p}:i_{1}<\ldots <i_{k}\}$

Beachte, dass die $i_{j}$ unterschiedlich sind und der Größe nach geordnet sind.

Beweis

a):

${\begin{aligned}&dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{k}})\\=&\det \left({\begin{array}{ccc}dx_{i_{1}}(e_{j_{1}})&\cdots &dx_{i_{1}}(e_{j_{k}})\\\vdots &\ddots &\vdots \\dx_{i_{k}}(e_{j_{1}})&\cdots &dx_{i_{k}}(e_{j_{k}})\\\end{array}}\right)\\=&\det \left({\begin{array}{lll}\delta _{i_{1},j_{1}}&&0\\&\ddots &\\0&&\delta _{i_{k},j_{k}}\\\end{array}}\right)\\=&\delta _{i_{1},j_{1}}\cdot \ldots \cdot \delta _{i_{k},j_{k}}\end{aligned}}$

b):

Unabhängigkeit: Mit dem letzten Satz genügt es, der Größe nach geordnete Indizes zu betrachten

$\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{n}b_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$

Sei also die $k$-Form Null.

$\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\equiv 0$

Setzt man $(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{k}})$ mit $j_{1}<\ldots <j_{k}$ ein , so erhält man, dass die Koeffizienten Null sein müssen.

${\begin{aligned}0=&\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{k}})\\=&\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\delta _{i_{1},j_{1}}\cdot \ldots \cdot \delta _{i_{k},j_{k}}\\=&a_{j_{1},\ldots ,j_{k}}\end{aligned}}$

Erzeugendensystem: Sei $f\in W^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})$ beliebig. Setze

$g:=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}f(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}})dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$

Nach b) gilt

$g(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}})=f(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}})$

Da beide Abbildungen multilinear sind, gilt für beliebige $v_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j}\in \mathbb {R} _{p}^{n}$:

${\begin{aligned}g(v_{1},\ldots ,v_{k})=&\sum _{j_{1}=1}^{n}\ldots \sum _{j_{k}=1}^{n}a_{ij_{1}}\ldots a_{ij_{k}}g(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}})\\=&\sum _{j_{1}=1}^{n}\ldots \sum _{j_{k}=1}^{n}a_{ij_{1}}\ldots a_{ij_{k}}f(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}})\\=&f(v_{1},\ldots ,v_{k})\end{aligned}}$

Da das für beliebige $v_{i}$ galt, folgt $g=f$.

Definition

a) Eine $0$-Form ist eine differenzierbare Abbildung

$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

b) Sei $k\geq 1$. Eine Abbildung

$w:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow W^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n}),p\rightarrow w(p)$

hat eine eindeutige Darstellung

$w(p)=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}})_{p}$

$w$ heißt differenzierbar $\iff$ alle $a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}$ sind differenzierbar. Dann heißt $w$ k-Form. Abkürzende Schreibweise: $\sum _{I}a_{I}dx_{I}$.

Beweis

Da $dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$ eine Basis sind.

Beispiel

Im $\mathbb {R} ^{4}$ gibt es folgende k-Formen:

0-Formen: Die differenzierbaren Funktionen

$f:\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R}$

1-Formen:

$a_{1}dx_{1}+a_{2}dx_{2}+a_{2}dx_{3}+a_{4}dx_{4}$

2-Formen:

${\begin{aligned}a_{12}dx_{1}\wedge dx_{2}+a_{13}dx_{1}\wedge dx_{3}+a_{14}dx_{1}\wedge dx_{4}\\+a_{23}dx_{2}\wedge dx_{3}+a_{24}dx_{2}\wedge dx_{4}+a_{34}dx_{3}\wedge dx_{4}\end{aligned}}$

3-Formen:

${\begin{aligned}&&a_{123}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}+a_{124}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{4}\\&+&a_{134}dx_{1}\wedge dx_{3}\wedge dx_{4}+a_{234}dx_{2}\wedge dx_{3}\wedge dx_{4}\end{aligned}}$

4-Formen:

$a_{1234}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}\wedge dx_{4}$

Das äußere Produkt von k-Formen

Definition

Das äußere Produkt einer $k$-Form $w=\sum _{I}a_{I}dx_{I}$ und einer $l$-Form $r=\sum _{J}b_{J}dx_{J}$ ist

$w\wedge r:=\sum _{I,J}a_{I}b_{J}dx_{I}\wedge dx_{J}$

Das ist eine $k+l$-Form.

Beweis

Das ist wohldefiniert, da die Darstellung

$\sum _{I}a_{I}dx_{I}$

eindeutig ist.

Jetzt berechnen wir einige Eigenschaftenh des Dachproduktes.

Satz

Sei w eine k-Form, r eine l-Form und s eine m-Form. Dann gilt:

a) $(w\wedge r)\wedge s=w\wedge (r\wedge s)$

b) $w\wedge r=(-1)^{kl}(r\wedge w)$

c) $\wedge$ ist linear in jeder Komponente: Für $l=m$ gilt

$w\wedge (r+cs)=w\wedge r+cw\wedge s$

Beweis

${\begin{aligned}(w\wedge r)\wedge s=&\left(\sum a_{I}b_{J}dx_{I}\wedge dx_{J}\right)\wedge \left(\sum c_{K}dx_{K}\right)\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&\sum a_{I}b_{J}c_{K}dx_{I}\wedge dx_{J}\wedge dx_{K}\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&\left(\sum a_{I}dx_{I}\right)\wedge \left(\sum b_{J}c_{K}dx_{J}\wedge dx_{K}\right)\\=&w\wedge (r\wedge s)\end{aligned}}$

b) Man tauscht $dx_{j}$ an $dx_{i_{1}},\ldots ,dx_{i_{k}}$ vorbei. Dabei erhält man $k$-mal den Faktor $(-1)$. Das muss man $l$-mal tun für jedes der $x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{l}}$.

${\begin{aligned}&w\wedge r\\=&\sum _{I,J}a_{I}b_{J}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\wedge dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{l}}\\{\stackrel {\text{einmal}}{=}}&\sum _{I,J}b_{J}a_{I}(-1)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k-1}}\wedge dx_{j_{1}}\wedge dx_{i_{k}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{l}}\\{\stackrel {k{\text{ -mal}}}{=}}&\sum _{I,J}b_{J}a_{I}(-1)^{k}dx_{j_{1}}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\wedge dx_{j_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{l}}\\{\stackrel {k\cdot l{\text{ -mal}}}{=}}&\sum _{I,J}b_{J}a_{I}(-1)^{kl}dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{k}}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\\=&(-1)^{kl}r\wedge w\end{aligned}}$

c)

${\begin{aligned}&\left(\sum _{I}a_{I}dx_{I}\right)\wedge \left(\sum _{J}b_{J}dx_{J}+c\sum _{J}c_{J}dx_{J}\right)\\=&\left(\sum _{I}a_{I}dx_{I}\right)\wedge \left(\sum _{J}(b_{J}+cc_{J})dx_{J}\right)\\=&\sum _{I,J}a_{I}(b_{J}+cc_{J})dx_{I}\wedge dx_{J}\\=&\sum _{I,J}a_{I}b_{J}dx_{I}\wedge dx_{J}+c\sum _{I,J}a_{I}c_{J}dx_{I}\wedge dx_{J}\\=&w\wedge r+cw\wedge s\end{aligned}}$

Satz

Es gilt zwar $dx_{i}\wedge dx_{i}=0$, aber es gilt nicht für alle k-Formen $w\wedge w=0$.

Beweis

Für

$w=x_{1}dx_{1}\wedge dx_{2}+x_{2}dx_{3}\wedge dx_{4}$

gilt

$w\wedge w=2x_{1}x_{2}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}\wedge dx_{4}$

Beispiel

Für

${\begin{aligned}w=&x_{1}dx_{1}+x_{2}dx_{2}+x_{3}dx_{3}\in W^{1}(\mathbb {R} ^{3})\\r=&x_{1}dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{1}\wedge dx_{3}\in W^{2}(\mathbb {R} ^{3})\end{aligned}}$

gilt

$w\wedge s=(x_{1}x_{3}-x_{2})dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}$

Beweis

Wegen

$dx_{i}\wedge dx_{i}=0$

gilt

${\begin{aligned}w\wedge s=&x_{2}dx_{2}\wedge dx_{1}\wedge dx_{3}+x_{3}x_{1}dx_{3}\wedge dx_{1}\wedge dx_{2}\\=&(x_{1}x_{3}-x_{2})dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}\end{aligned}}$

Zurückziehen von k-Formen

Durch das Vorschalten einer differenzierbaren Abbildung erhält man eine neue k-Form.

Definition

Sei $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine differenzierbare Abbildung mit

$df_{p}:\mathbb {R} _{p}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{f(p)}^{m}$

Für eine 0-Form $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ sei

$f^{\ast }(g):\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ,v\mapsto g\circ f(v)$

Für eine k-Form

$f^{\ast }:W_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{m})\rightarrow W_{f(p)}^{k}(\mathbb {R} ^{n}),w(p)\mapsto w(f(p))(df_{p}(v_{1}),\ldots ,df_{p}(v_{k}))$

d.h.

${\begin{array}{lll}\mathbb {R} ^{n}&{\stackrel {f}{\rightarrow }}&\mathbb {R} ^{m}\\f^{\ast }w\searrow &&\swarrow w\\&\mathbb {R} \\\end{array}}$

Beachte, dass $w$ Vektoren aus dem $\mathbb {R} ^{m}$ verlangt, auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ stehen diese uns aber nicht zur Verfügung. Deshalb wenden wir die lineare Abbildung des Differentials $df$ auf die $v_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ an, um im $\mathbb {R} ^{m}$ zu landen. Viel wichtiger ist die Anschauung: $df$ vergrößert oder verkleinert ggf. das Volumen des kleinen von den $v_{i}$ aufgespannten Parallelepipeds und genau das wollen wir erreichen, da $f$ das auch tut.

Satz

Sei $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine differenzierbare Abbildung.

Seien $w,r\in W^{k}(\mathbb {R} _{p}^{m}),g\in W^{0}(\mathbb {R} _{p}^{m}),c\in \mathbb {R}$. Dann gilt:

a) $f^{\ast }$ ist linear: $f^{\ast }(w+cr)=f^{\ast }w+cf^{\ast }r$

b) $f^{\ast }$ vertauscht mit dem Produkt einer Funktion und einer k-Form: $f^{\ast }(gw)=f^{\ast }(g)f^{\ast }(w)$

c) $f^{\ast }$ von einem Element der dualen Basis berechnet sich aus den partiellen Ableitungen von f gemäß

$f^{\ast }(dy_{i})(v)=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}dx_{j}(v)$

d.h. das folgende Diagramm kommutiert

${\begin{array}{rcl}\mathbb {R} ^{n}&{\stackrel {f}{\rightarrow }}&\mathbb {R} ^{m}\\f^{\ast }dy\searrow &&\swarrow dy\\&\mathbb {R} \\\end{array}}$

Beweis

:

a) Für alle $v_{1},\ldots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt, da die k-Formen einen Vektorraum bilden

${\begin{aligned}&f^{\ast }(w+cr)(p)(v_{1},\ldots ,v_{k})\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&(w+cr)(f(p))(df_{p}(v_{1}),\ldots ,df_{p}(v_{k}))\\{\stackrel {\text{VR}}{=}}&w(f(p))(df_{p}(v_{1}),\ldots ,df_{p}(v_{k}))+cr(f(p))(df_{p}(v_{1}),\ldots ,df_{p}(v_{k}))\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&(f^{\ast }w)(p)(v_{1},\ldots ,v_{k})+c(f^{\ast }r)(p)(v_{1},\ldots ,v_{k})\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&(f^{\ast }w+f^{\ast }r)(p)(v_{1},\ldots ,v_{k})\end{aligned}}$

b) Durch konsequentes EInsetzen der Definition folgt die Behauptung

${\begin{aligned}&f^{\ast }(g\cdot w)(p)(v_{1},\ldots ,v_{k})\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&(g\cdot w)(f(p))(df_{p}(v_{1}),\ldots ,df_{p}(v_{k}))\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&g(f(p))\cdot w(f(p))(df_{p}(v_{1}),\ldots ,df_{p}(v_{k}))\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&(g\circ f)(p)\cdot f^{\ast }w(p)(v_{1},\ldots ,v_{k})\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&(f^{\ast }g)(p)\cdot f^{\ast }w(p)(v_{1},\ldots ,v_{k})\end{aligned}}$

c) Mit der Matrix $df$, die aus den ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ aufgebaut ist und da $dy_{i}$ die $i$-te-Zeile eines Vektors ausliest, folgt

${\begin{aligned}f^{\ast }(dy_{i})(p)(v){\stackrel {\text{Def}}{=}}&dy_{i}(f(p))(df(v))\\=&dy_{i}(f(p))\left(\left({\begin{array}{lll}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots \\{\dfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\\\end{array}}\right)\right)\\=&dy_{i}(f(p))\left({\begin{array}{l}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}v_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{j}}}v_{j}\\\end{array}}\right)\\=&\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}\\=&\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}dx_{j}(v)\end{aligned}}$

Satz

a) $f^{\ast }$ vertauscht mit dem Dachprodukt. Für $h_{1},\ldots ,h_{k}\in W^{1}(\mathbb {R} _{p}^{m})$ gilt:

$f^{\ast }(h_{1}\wedge \ldots \wedge h_{k})=f^{\ast }(h_{1})\wedge \ldots \wedge f^{\ast }(h_{k})$

b) $f^{\ast }$ entspricht dem Ersetzen der Variablen x durch f

$f^{\ast }\left(\sum _{I}a_{I}dx_{I}\right)=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}(a_{i_{1}<\ldots <i_{k}}\circ f)df_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge df_{i_{k}}$

wobei

${\begin{aligned}df_{i}=&{\text{ i-te Zeile von }}df\\=&\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{n}}}\right)\end{aligned}}$

c) $f^{\ast }(w\wedge r)=(f^{\ast }w)\wedge (f^{\ast }r)$

d) $(f\circ g)^{\ast }w=g^{\ast }(f^{\ast }w)$.

Beweis

a) Wir setzen der Reihe nach unsere Definition ein und erhalten

${\begin{aligned}&f^{\ast }(h_{1}\wedge \ldots \wedge h_{k})(v_{1},\ldots ,v_{k})\\=&(h_{1}\wedge \ldots \wedge h_{k})(f(p))(df(v_{1}),\ldots ,df(v_{k}))\\=&\det(h_{i}(f(p))(df(v_{j})))\\{\stackrel {Def}{=}}&\det \left({\begin{array}{lll}h_{1}(f(p))(dfv_{1})&\cdots &h_{1}(f(p))(dfv_{k})\\\vdots &&\vdots \\h_{k}(f(p))(dfv_{1})&\cdots &h_{k}(f(p))(dfv_{k})\\\end{array}}\right)\\{\stackrel {Def}{=}}&\det \left({\begin{array}{lll}f^{\ast }h_{1}(v_{1})&\cdots &f^{\ast }h_{1}(v_{k})\\\vdots &&\vdots \\f^{\ast }h_{k}(v_{1})&\cdots &f^{\ast }h_{k}(v_{k})\\\end{array}}\right)\\=&(f^{\ast }h_{1}\wedge \ldots \wedge f^{\ast }h_{k})(v_{1},\ldots ,v_{k})\end{aligned}}$

b) Sei $w=\sum _{I}a_{I}dy_{I}\in W^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})$. Wegen

${\begin{aligned}dx_{i}(df\ v)=&\left(\left({\begin{array}{lll}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots \\{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\\\end{array}}\right)\right)_{i}\\=&\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}\\=&df_{i}(v)\end{aligned}}$

gilt

${\begin{aligned}&f^{\ast }\left(\sum _{I}a_{I}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)(v_{1},\ldots ,v_{k})\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&\sum _{I}a_{I}\circ fdx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}(f(p))(dfv_{1},\ldots ,dfv_{k})\\=&\sum _{I}a_{I}\circ f\det \left({\begin{array}{lll}dx_{i_{1}}(dfv_{1})&\cdots &dx_{i_{1}}(dfv_{k})\\\vdots &&\vdots \\dx_{i_{k}}(dfv_{1})&\cdots &dx_{i_{k}}(dfv_{k})\\\end{array}}\right)\\=&\sum _{I}a_{I}\circ f\det \left({\begin{array}{lll}df_{i_{1}}(v_{1})&\cdots &df_{i_{1}}(v_{k})\\\vdots &&\vdots \\df_{i_{k}}(v_{1})&\cdots &df_{i_{k}}(v_{k})\\\end{array}}\right)\\=&\sum _{I}(a_{I}\circ f)df_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge df_{i_{k}}\\\end{aligned}}$

c)

${\begin{aligned}&f^{\ast }(w\wedge r)\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&f^{\ast }\left(\sum _{I,J}a_{I}b_{J}dx_{I}\wedge dx_{J}\right)\\{\stackrel {\text{b)}}{=}}&\sum _{I,J}(a_{I}\circ f)(b_{J}\circ f)df_{I}\wedge df_{J}\\{\stackrel {\text{Def}}{=}}&\sum _{I}(a_{I}\circ f)df_{I}\wedge \sum _{J}(b_{J}\circ f)df_{J}\\=&f^{\ast }w\wedge f^{\ast }r\end{aligned}}$

d)

${\begin{aligned}&(f\circ g)^{\ast }w\\{\stackrel {Def}{=}}&\sum _{I}(a_{I}\circ f\circ g)d(f\circ g)_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d(f\circ g)_{i_{k}}\\{\stackrel {\text{b)}}{=}}&\sum _{I}(a_{I}\circ f\circ g)(df\circ dg)_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge (df\circ dg)_{i_{k}}\\{\stackrel {Def}{=}}&g^{\ast }\sum _{I}(a_{I}\circ f)df_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge df_{i_{k}}\\=&g^{\ast }(f^{\ast }(w))\end{aligned}}$

Satz

Für

$i:\mathbb {R} ^{n-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},(x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto (0,x_{2},\ldots ,x_{n})$ gilt

${\begin{aligned}&i^{\ast }\sum _{j=1}^{n}a_{j}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\=&a_{1}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\end{aligned}}$

Beweis

Wegen

${\begin{aligned}Di=&\left({\begin{array}{ccc}0&\ldots &0\\1&&0\\&\ddots \\0&&1\\\end{array}}\right)\\di_{1}\equiv &0\\\forall 2\leq k\leq n:\ di_{k}=&dx_{k}\end{aligned}}$

gilt

${\begin{aligned}&i^{\ast }\sum _{j=1}^{n}a_{j}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\{\stackrel {Def}{=}}&\sum _{j=1}^{n}a_{j}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})di_{1}\wedge \ldots \wedge di_{j-1}\wedge di_{j+1}\wedge \ldots \wedge di_{n}\\{\stackrel {di_{1}=0}{=}}&a_{1}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})di_{2}\wedge \ldots \wedge di_{n}\\{\stackrel {di_{k}=dx_{k}}{=}}&a_{1}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\end{aligned}}$