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Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Das Maximumprinzip der Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir

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Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen bewiesen.

Motivation

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Wir folgern aus den Mittelwerteigenschaften des letzten Kapitels, dass eine harmonische Funktion ihr Maximum auf dem Rand annimmt. Daraus ergibt sich die Eindeutigkeit des Randwertproblems der Poissongleichung und zudem die stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Randbedingungen: bei kleiner Änderung der Randbedingungen ändert sich die Lösung nur geringfügig. Das ist insbesondere in der Numerik von zentraler Bedeutung, wo man automatisch mit Ungenauigkeiten rechnet.

Der Zusammenhang

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Dazu starten wir mit etwas Topologie: dem Begriff des Zusammenhangs. Genauere Erklärungen folgen detailliert im nächsten Kapitel.

Definition

  1. Eine Menge heißt offen in genau dann wenn es eine offene Menge gibt sodass gilt .
  2. Eine Menge heißt abgeschlossen in genau dann wenn offen in ist.
  3. Eine Menge heißt zusammenhängend genau dann wenn sie nicht in zwei disjunkte, nicht-leere, in offene Mengen zerlegt werden kann.

Das schwache und starke Maximumprinzip

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Satz

Sei offen und beschränkt und sei harmonisch auf .

1.) Schwaches Maximumprinzip: nimmt sein Maximum über auf dem Rand an, in Formeln

Da mit auch harmonisch ist, gilt auch

2.) Starkes Maximumprinzip: Ist zudem zusammenhängend und nimmt im Inneren sein Maximum über an

so ist konstant auf .

To-Do:

ein Bild macht anschaulich, dass das nur auf einer Zusammenhangskomponente gilt

Beweis

2.):

Da stetig auf dem beschränkten und abgeschlossenen und damit kompakten , nimmt es dort sein Maximum und Minimum an. Setze als das Maximum von in . Sei

die Menge der in , in denen sein Maximum annimmt. Da in sein Maximum nach Voraussetzung annimmt, gilt .

Wir zeigen nun, dass in abgeschlossen und offen ist. Da zusammenhängend ist, folgt dann . Da folgt .

Abgeschlossenheit: Da der Punkt in abgeschlossen ist und da stetig ist, ist

in abgeschlossen nach Analysis II, da abgeschlossen ist.

Offenheit: Sei beliebig. Wähle einen Radius , der kleiner ist als der Abstand von zum Rand von , d.h.

Betrachte nun die Kugel . Annahme: es gibt ein mit .

Da stetig ist gibt es eine offene Umgebung von in , in der alle Werte von kleiner als sind

Das ergibt mit der Mittelwertformel des letzten Kapitels

d.h. ein Widerspruch.

Für alle gilt daher .

Somit ist für alle eine ganze Kugel in . Damit ist offen in .

2.) 1.):

Eine offene und beschränkte Menge lässt sich darstellen als disjunkte Vereinigung

offener, beschränkter, zusammenhängender Mengen . (Das zeigen wir im nächsten Kapitel).

Wegen ist das Maximum über größer gleich dem Maximum über

Sei dabei das Maximum von über den Abschluss .

Annahme: Das Maximum werde im Inneren von im Punkt angenomnen, d.h.

liegt in einer offenen beschränkten Zusammenhangskomponente und mit 2.) folgt auf ganz .

Da der Rand der Zusammenhangskomponente im Rand von enthalten ist, gilt dann

Das ergibt einen Widerspruch und die Annahme ist falsch.

Eindeutigkeit beschränkter Lösungen der Poissongleichung

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Satz

Sei offen und beschränkt. Seien . Dann gibt es höchstens eine Lösung des Randwertproblmes

Beweis

Seien zwei Lösungen des Randwertproblems. Für gilt dann

Mit dem Maximumprinzip folgt für alle .

Analog gilt für

Mit dem Maximumprinzip gilt für alle . Insgesamt folgt für alle

Stetige Abhängigkeit der Poissongleichungs-Lösung von den Randbedingungen

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Satz

Sei offen und beschränkt. Seien . Die Lösung des Randwertproblmes

hängt stetig von den Randbedingungen ab in der -Norm.

Beweis

Das ist eine Anwendung des Maximumprinzips und der Definition des Betrages