Zum Inhalt springen

Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks

Wo stehen wir

[Bearbeiten]

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

Sie heißt homogen für , sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung zum Zeitpunkt und Wärmequellen und -senken vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. In diesem Kapitel betrachten wir die Fundamentallösung und konstruieren daraus die Lösung für den Ganzraumfall - ganz ähnlich wie bei der Laplace-Gleichung.


Herleitung der Fundamentallösung

[Bearbeiten]

Wir wollen eine einfache Lösung der Wärmeleitungsgleichung finden. Wir haben schon bewiesen, dass der Laplace-Operator rotationssymmetrisch ist, Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Der Laplaceoperator_ist_rotationssymmetrisch

Deshalb betrachten wir ein .

Mit ist sicher auch eine Lösung für , denn mit der Kettenregel gilt

Wählen wir , so erhalten wir eine Differentialgleichung, die nur noch von einer Variablen abhängig ist. Wir fügen zudem noch einen Vorfaktor hinzu, der sich als praktisch erweisen wird, d.h. wir suchen ein mit

Wegen der Rotationssysmmetrie gilt, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Die_Fundamentallösung_der_Laplace-Gleichung

mit der inneren Ableitung

Die Zeitableitung bestimmt sich zu

Damit erfüllt die folgende Differentialgleichung nach Multiplikation mit

die sich gut lösen lässt, indem man sie umschreibt

Die Konstante wählen wir so, dass das Integral auf Eins normiert ist, wie wir im nächsten Abschnitt zeigen.

Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung

[Bearbeiten]

Wir finden wie bei der Laplace-Gleichung eine Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung für , aus der wir durch Faltung Lösungen auf dem Ganzraum und konstruieren für gegebene und .

Satz

Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung ist

Sie erfüllt die Wärmeleitungsgleichung und das Integral über ist normiert.

Beweis

:

FÜr und gilt, da die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion ergibt,

Das ergibt

:

Für gilt mit der Substitution

nun

Ganzraum-Lösung für gegebene Anfangsbedingungen

[Bearbeiten]

Satz

Sei . Die Faltung

ist unendlich oft differenzierbar, erfüllt die Wärmeleitungsgleichung und im Grenzwert die Anfangsbedingungen

  1. Aus der Anfangsverteilung der Wärme im Raum zum Zeitpunkt lässt sich die weitere Verteilung im Verlaufe der Zeit bestimmen.

Beweis

:

Alle Ableitungen von sind ein Polynom in multipliziert mit .

Damit ist unendlich oft differenzierbar.

Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion, sind alle Ableitungen integrierbar auf . Da zudem beschränkt ist, lassen sich Integral und Ableitungen vertauschen und wird unendlich oft differenzierbar auf für jedes . Damit ist es auf unendlich oft differenzierbar.

:

Da unendlich oft differenzierbar ist auf und die Exponentialfunktion schneller fällt als jede Potenzfunktion, sind die Ableitungen von integrierbar und Integral und Ableitung lassen sich vertauschen gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und Ableitung#Vertauschen von_Integral_und_Ableitung, gilt

:

Seien und beliebig. Da stetig ist nach Voraussetzung wähle ein sodass

Für betrachte die Differenz

Das erste Integral können wir leicht abschätzen zu , da

Das zweite Integral vereinfacht sich dadurch, dass beschränkt ist, zu

In diesem Integral benötigen wir eine Abschätzung für , diese erhalten wir da in den Integralgrenzen nur mit auftreten durch

Auf eine Seite gebracht ergibt sich

und mit der Transformation

und Polarkoordinaten für die zweite Integralabschätzung

Mit der Subsitution

folgt für das Integral

Insgesamt ergibt sich für hinreichend kleine

und die Behauptung ist bewiesen.

Duhamelsches Prinzip

[Bearbeiten]

Satz

Sei , d.h. und alle mit sind stetig. Der Träger von sei kompakt in , Schreibweise . Die Funktion definiert durch das Doppelintegral

t ist von der Klasse und erfüllt die inhomogene Wärmeleitungsgleichung und die Anfangsbedingungen (Null)

i)

ii)

Beweis

ii):

Da und da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion, sind die Ableitungen von integrierbar (auf jedem ) und da beschränkt ist auf seinem kompakten Träger, lassen sich Integral und Ableitung vertauschen.

Bei Parameterintegralen werden einmal die variablen Integralgrenzen abgeleitet und einmal die variable Funktion unter dem Integral abgeleitet, siehe Analysis II, das ergibt

Um zu zeigen, dass , berechnen wir

Damit gilt ii).

i):

Sei . Wir setzen ein und spalten das Zeitintegral in zwei Teile auf

und betrachten nun die Einzelterme. Zunächst gilt, da und seine Ableitung auf dem kompakten Träger beschränkt ist,

Bei dem Term wollen wir die Ableitungen von auf übertragen. Beim Greenschen Satz (siehe den letzten Satz des Kapitels Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes) entfallen die Randterme, wegen des kompakten Trägers von

Randterme treten aber bei der partiellen Integration bzgl. auf , wobei erneut der obige Term auftritt, aber mit negativem Vorzeichen

Das ergibt

Da gleichmäßig stetig ist auf seinem kompakten Träger, gilt

Den Grenzwert der Faltung von und haben wir schon im vorhergehenden Satz berechnet

Das ergibt die

Allgemeine Lösungsformel im Ganzraum

[Bearbeiten]

Satz

Seien und mit . Dann ist die Funktion definiert durch

von der Klasse und erfüllt das Anfangswertproblem

Beweis

:

Das gilt mit obigen zwei Sätzen, da die Differentialgleichung linear ist.

Aufgabe

Seien mit und eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf . Zeige, dass .

Wie kommt man auf den Beweis?

Rechne es nach.

Beweis

Da und linear unabhängig sind, wird das nur Null für