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Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Gammafunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir hatten im letzten Kapitel die Gammafunktion und die Betafunktion benötigt und wollen der Vollständigkeit halber deren Beziehungen hier herleiten.

Die Gammafunktion interpoliert die Fakultät für . Für die Betafunktion existiert keine so einfache Anschauung.

Die Gammafunktion

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Definition

Die Gammafunktion ist definiert als

Beweis

Wir müssen zeigen, dass das Integral definiert ist und teilen es dazu bei in zwei Teile auf. Die Idee ist, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion.

Sei fest. Wir wählen mit dem kleinsten . Durch Anwenden des monoton steigenden Logarithmus gilt für alle wegen

Damit folgt

d.h.

Somit gilt für das eine Integral wegen der Monotonie

Das andere Integral können wir mit abschätzen zu

Mit dem Satz über monotone Konvergenz existiert das Integral, siehe

Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Maß-Integral_und_Riemann-Integral

Satz

Für die Gammafunktion gilt

Die erste Relation heißt Funktionalgleichung.

Beweis

a) Sei . Wir integrieren partiell mit und . Dann gilt

Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion bleibt nur der Term übrig.

b)

c)

Mit Polarkoordinaten

und dem Satz von Fubini Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Produktmaße#Rechenregel_zur_Integration_über_das_Produktmaß gilt

d.h. wegen der Symmetrie von

Substituiere nun , d.h.

Das ergibt

Das Volumen einer Kugel

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Satz

Das Volumen der Kugel ist

Beweis

Wir verwenden Induktion nach der Raumdimension .

Für ist die Kugel das Intervall mit dem Volumen

Induktionsschritt : Der Schnitt der -dimensionalen Kugel mit der Ebene konstant ist eine -dimensionale Kugel mit Radius

Nun integrieren wir diese Schnitte auf, um das Gesamtvolumen der -dimensionalen Kugel zu erhalten:

Mit der Substitution lässt sich das Integral vereinfachen, da der Cosinuns im Intervall monoton steigend ist

zu

Im letzten Schritt wurde verwendet, dass der Sinus im Intervall symmetrisch ist zu . Das erhaltene Integral lässt sich rekursiv auflösen durch partielle Integration:

Dabei tritt das Integral erneut auf. Bringen wir die Integrale auf eine Seite, gilt

Damit ist ein Induktionsschritt möglich, wenn wir die beiden Induktionsanfänge berechnen:

Einsetzen ergibt für gerades :

und für ungerades

Zusammengefasst folgt mit der Funktionalgleichung

und

Insgesamt

Das ergibt für das Volumen

Die Betafunktion

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Definition

Die Betafunktion ist definiert für durch

Beweis

Wir müssen zeigen, dass das Integral definiert ist. Für ist der Integrand beschränkt und damit existiert das Integral.

Sei oder . Wenn ein Term gegen Unendlich strebt, schätzen wir den jeweils anderen Term durch eine Konstante wie folgt ab

und können die Integrale abschätzen zu

und das Integral existiert.

Beziehung zwischen Gammafunktion und Betafunktion

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Satz

Es gilt

Insbesondere ist die Betafunktion symmetrisch.

Beweis

Wir benutzen die Definition der Gammafunktion und erhalten ein Doppelintegral

Mit der Transformation und ihrer Umkehrung folgt

Das ergibt