Zum Inhalt springen

Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Harnacksche Ungleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks


Wo stehen wir

[Bearbeiten]

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Jetzt zeigen wir eine ungewöhnliche Ungleichung: Mit der Harnackschen Ungleichung lässt sich das Supremum mit einer Konstanten nach oben durch das Infimum abschätzen. Dieses Tool werden wir schon bei der Regularität der Lösungen verwenden.

Die Harnacksche Ungleichung

[Bearbeiten]

Satz (Harnack Ungleichung)

Sei offen, offen und zusammenhängend und kompakt. Dann gibt es eine Konstante sodass für alle nicht-negativen harmonischen Funktionen gilt

Damit sind alle Funktionswerte von in vergleichbar

Beweis (Harnack Ungleichung)

1.):

Da kompakt ist und abgeschlossen und sie leeren Schnitt haben, ist ihr Abstand echt größer Null, wie wir bewiesen haben im Hilfssatz im Kapitel

Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

Setze daher

Seien . Damit ist ihr Abstand von größer gleich . Insbesondere gilt dann

Der Abstand zwischen den beiden Punkten sei kleiner als , d.h. . Dann folgt

Da harmonisch ist, können wir die Mittelwerteigenschaft zweimal anwenden. Zudem benutzen wir, dass das Integral über eine größere Menge sich nur vergrößern kann, da nicht-negativ ist. Das ergibt

2.):

Zeige: Da kompakt ist und zusammenhängend ist, existiert eine endliche Überdeckung von durch eine Kette offener Kugeln mit für .

Konstruktionsidee: Da offen ist und Abstand größer gleich hat vom Rand von , gibt es um jeden Punkt in eine -Kugel, deren Schnitt mit leer ist. Damit ist inklusive seinen Rand in dieser Überdeckung mit diesen -Kugeln enthalten

Da kompakt ist, wird es von endlich vielen dieser Kugeln überdeckt. Das seien Stück.

Da zusammenhängend ist, ist es wegzusammenhängend und wir können die Mittelpunkte aller Kugeln durch einen Weg miteinander verbinden.

Benachbarte Kugeln auf diesem Weg haben aber ggf. keinen Schnitt miteinander. Daher ergänzen wir neue Kugeln mit Radius auf dem Weg wie folgt: Da das Intervall kompakt ist und stetig ist, ist gleichmäßig stetig (gemäß Analysis II). Das heißt, es gibt ein sodass für gilt

Insbesondere schneiden sich dann die Kugeln mit Radius und Mittelpunkten und !

Jetzt wählen wir eine Unterteilung des Gesamtweges , die feiner ist als , und wählen als Mittelpunkte von neuen Kugeln die . Nun haben wir Kugeln auf dem Weg, die sich jeweils fortlaufend schneiden, wenn wir unsere ursprünglichen Kugelmittelpunkte in der Reihe der einordnen durch gemäß der Ordnung des Intervalles .

Seien beliebig. Diese liegen in einer obigen Kugel und einer obigen Kugel , wobei ohne Einschränkung gelte. Für die Anordnung der Punkte

gilt

Mit Schritt 1.) folgt

Das galt bei beliebiger Wahl von und . Geht man links zum Supremum und rechts zum Infimum über, folgt