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Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Poissongleichung im Ganzraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir

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Wir haben die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet.

Der Mittelwert über Kugeloberflächen einer stetigen Funktion

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Wir konstruieren aus der Fundamentallösung der Laplacegleichung über eine sogenannte "Faltung" eine Ganzraumlösung der Poissongleichung . Dafür beweisen wir erst einen Hilfssatz, dass bei stetigen Funktionen f ihr mittlerer Wert über eine Sphäre sich dem Wert am Kugelmittelpunkt annähert. Das hatten wir erwartet, da die stetige Funktion bei immer kleineren werdenden Kugeln immer weniger abweicht von ihrem Wert am Kugelmittelpunkt.

Satz

Sei offen und und und

Dann gilt

Beweis

wobei die Stetigkeit von im letzten Schritt verwendet wurde.

Die Lösung der Poissongleichung im Ganzraumfall

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Satz

Durch Faltung der Fundamentallösung aus dem letzten Kapitel mit erhält man eine Lösung der Poissongleichung: Sei , d.h. ist zweimal stetig differenzierbar und hat einen kompakten, insbesonderen beschränkten Träger. Sei

Dann gilt

a)

b) in .

Beweis

1.) Das Integral existiert für alle : Da der Träger kompakt ist, ist er in einer Kugel um enthalten, d.h. es gibt ein mit . Da f stetig ist, nimmt es auf dem kompakten Träger sein Maximum an und ist insbesondere beschränkr durch ein . Wir haben im letzten Kapitel gezeigt , siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung

Mit der Transformation

und der Transformationsformel gilt

Man sagt auch, die Faltung ist kommutativ.

2.) Integration und Ableitung sind vertauschbar:

Sei beliebig. Wähle einen Radius , sodass der Träger von ganz in der Kugel um enthalten ist . Damit lassen sich alle Ableitungen in fÜr abschätzen gemäß

und die rechte Seite ist in da und auf seinem kompakten Träger beschränkt ist. Damit steht auf der rechten Seite eine Majorante und Integral und Ableitung lassen sich vertauschen, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung

3.) Abschätzung der einzelnen Terme:

Wir summieren und erhalten für beliebige ein Integral, das wir aufspalten in ein Integral über eine kleine Kugel um den Ursprung und ein Integral über den Rest des Raumes

Wir schätzen beide Terme ab: Da stetig in fortsetzbar ist, wie wir im letzten Kapitel mit der Regel von L'Hospital gezeigt haben, ist es in beschränkt, ist durch beschränkt, damit gilt

Es gilt , denn durch die zweifache Ableitung erhält man zweimal den Faktor . Wegen wird nur über eine Kugel integriert und das Integral über den äußeren Rand verschwindet, da dort identisch Null ist. Mit der Greenschen Formel gilt, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

Bei genügend großer Wahl von ist auf dem Rand von und der dritte Term entfällt. Beim zweiten Term zeigt die Normale nach außen aus dem Gebiet d.h. in die Kugel auf den Nullpunkt zu und es gilt

da , d.h. stetig auf seinem kompakten Träger. Das ergibt

Nun wollen wir den Term abschätzen. Mit folgt

Die Formel von Green lässt sich auf anwenden, da der Träger von in einer Kugel um Null enthalten ist für ein . Mit dem oben gezeigten Hilfssatz über die Mittelung einer stetigen Funktion über Kugeloberflächen gilt

Da und die linke Seite nicht von abhängt, gilt