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Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Transportgleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir

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Wir setzen im Folgenden die Maßtheorie und Analysis II insbesondere die Existenz und Eindeutigkeit gewöhnlicher Differentialgleichungen voraus.

Wir betrachten die Transportgleichung zunächst für konstantes und erhalten Existenz und Endeutigkeit inklusive einer Lösungsformel. Für nicht-konstantes und die homogene Gleichung stellen wir fest, dass die Lösung entlang bestimmter Kurven - Charakteristiken genannt - konstant ist! Im inhomogenen Fall errechnet sich die Lösung entlang der Charakteristiken gemäß einer Differentialgleichung. .

Die Lösungen sind jeweils eine Verschiebung in Raum und Zeit, daher der Name Transportgleichung.

Die lineare Transportgleichung

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Sei , wobei die Zeit ist und der Ort.

Definition

Lineare Transportgleichung

Seien gegeben. Sei der Ortsgradient und sei das Skalarprodukt auf . Dann ist die lineare Transportgleichung definiert als

Das Anfangswertproblem ist eine Vorgabe des Anfangswertes durch eine Funktion zur Zeit , d.h. eine Lösung der Gleichung, die zusätzlich erfüllt

Die Transportgleichung heißt linear, da sie nur linear von u und seinen Ableitungen abhängt, was sie erheblich leichter lösbar macht.

Die homogene Gleichung für konstantes b

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Wir lösen die Gleichung erst einmal für konstantes b.

Satz

Sei konstant und . Dann lautet die lineare Transportgleichung

Für jedes ist eine Lösung gegeben durch

Umgekehrt gilt: Ist eine Lösung, so existiert ein mit

Insbesondere ist jede Lösung konstant entlang der Geraden mit . Diese Geraden haben deshalb einen eigenen Namen, sie heißen Charakteristiken.

Für besitzt die Anfangswertaufgabe genau eine Lösung

Beweis

v(x-bt) ist eine Lösung

Ableiten von und Einsetzen in die partielle Differentialgleichung ergibt

Damit ist eine Lösung der linearen Transportgleichung.

Sei fest und betrachte die um zeitverschobene Funktion

Dann gilt :

Somit ist konstant und es folgt für

Anfangswertaufgabe: Existenz der Lösung

Ganz analog rechnen wir

Eindeutigkeit der Lösung

Seien zwei Lösungen und . Dann gilt für , da die Ableitung und das Skalarprodukt linear sind,

Wir haben oben gezeigt, dass dann eine Funktion existiert mit . Dann folgt

Die inhomogene Gleichung für konstantes b

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Nun betrachten wir die Lösung für .

Satz

Seien und . Dann besitzt die Anfangswertaufgabe

genau eine Lösung

To-Do:

Wie kommt man auf die Lösung? Man löst - siehe unten den inhomogenen Fall - eine Dgl und letzten Endes integriert entlang der Charakteristik das f auf.

Beweis

Existenz: Man kann im Folgenden Integral und Ableitung vertauschen, da die Ableitung von stetig und ist. Wegen der Beschränktheit auf dem kompakten , ist das Maximum von die Majorante. Siehe

Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung

Ableiten der angegebenen Lösung ergibt

Einsetzen in die partielle Differenatialgleichung bestätigt die Lösung

Eindeutigkeit: Seien zwei Lösungen und . Dann gilt für , da die Ableitung und das Skalarprodukt linear sind, dass die homogene Differentialgleichung mit Anfangswertbedingung Null erfüllt

Wir haben oben gezeigt, dass dann eine Funktion existiert mit . Dann folgt

1. Beispiel

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Beispiel

Betrachte die lineare Transportgleichung

mit Anfangsbedingung Null . Die eindeutige Lösung ist

Charakteristiken für nicht-konstantes b und homogenen Fall sind eindeutig

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Die obigen Sätze galten für konstantes b. Jetzt wenden wir uns dem schwereren Fall konstant zu, d.h. wir betrachten für die Anfangwertaufgabe I

Jetzt müssen wir einen Umweg beschreiten: Wir müssen die Anfangswertaufgabe II

lösen, wie wir gleich sehen. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung und da hat sie eine eindeutige Lösung auf einem maximalen Existenzintervall .

Sei nun eine Lösung der Anfangswertaufgabe I. Bilden wir die Zeitableitung und verwenden wir die partielle Differentialgleichung gilt

und ist entlang jeder Lösungskurve des Anfangswertproblems II konstant! Diese Kurven bekommen deshalb einen besonderen Namen: sie heißen Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung. Für konstantes waren es Geraden, Wegen

gilt

und mit der Wert der Charakteristik bei .

Satz (Charakteristiken sind eindeutig)

Die Charakteristiken des obigen Anfangswertproblems schneiden sich nicht.

Beweis (Charakteristiken sind eindeutig)

Seien Lösungen der eindeutigen Anfangswertaufgabe

die sich in treffen. Die Lösung ist jedoch eindeutig, d.h. auf dem Existenzintervall und somit , d.h. es ist die selbe Charakteristik.

Beispiel

Sei konstant. Dann ist die Lösung von

die Gerade auf . Die Geradengleichung lässt sich eindeutig auflösen zu , d.h.

Beispiele 2.)-4.)

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Beispiel

Sei . Dann ist die Lösung von

die Kurve mit . Das lässt sich einduetig auflösen zu , d.h.

Beispiel

Für und gibt es unendlich viele Lösungen.

Betrachte das Anfangswertproblem der gewöhnlichen Differentialgleichung

Wie kommt man auf die Lösung?

Überprüfe die Lösung

wie man durch Ableiten mit der Kettenregel und Einsetzen verifiziert, ist es die Lösung

Da der Nenner gegen Null geht und die Lösung damit gegen Unendlich, ergibt sich ein Definitionsbereich der Lösung abhängig vom Anfangswert von

Zu müssen wir nun ein eindeutiges finden, durch das die Charakteristik geht. Dazu formen wir um

Da der Nenner gegen Null und damit gegen Unendlich geht, ist die Lösung eindeutig mit der Einschränkung

Mit derselben Einschränkung gilt mit obiger Lösung, dass auf der Charakteristik konstant ist

Damit ist die Lösung nicht für alle Paare definiert. Dadurch können wir unendlich viele Lösungen konstruieren:

Betrachte Lösungen mit dem Anfangswert für . Das ergibt mit der gerade gezeigten Formel

Sei eine beliebige stetig differenzierbare Funktion mit kompakten Träger, d.h. . Setze damit

Wegen gilt mit

dass der Träger der Funktion im Bereich

liegt und ungleich der leeren Menge ist.

Wir rechnen nach, dass eine Lösung des Anfangswertproblems ist

und

ergibt Einsetzen

und da es unendlich viele obige gibt, gibt es unendlich viele Lösungen

1. Aufgabe

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Aufgabe

Gegeben sei mit und Anfangswerten . Gesucht ist eine Lösung .

Wie kommt man auf den Beweis?

Verwende charakteristische Kurven.

Beweis

Betrachte . Dessen Ableitung ist

Forme die partielle Differentialgleichung um zu

Vergleich der beiden Gleichungen ergibt

Das ergibt und erneutes Ableiten der zweitletzten Gleichung nach und Einsetzen der letzten Gleichung ergibt

Analog

Die Lösung dieser gewöhnlichen Differentialgleichung ist

Charakteristiken für nicht-konstantes b und inhomogenen Fall

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Erneut betrachten wir den schweren Fall konstant, aber dieses Mal die inhomogene Variante.

D.h. wir betrachten für die Anfangswertaufgabe I

Auch diese lässt sich mittels Charakteristiken lösen, wobei nicht mehr konstant ist längs der Charakteristiken, sondern sein Wert sich ermittelt gemäß der Anfangswertaufgabe III

Herleitung: Wie im homogenen Fall müssen wir die Anfangswertaufgabe II

lösen, wie wir gleich sehen. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung und da hat sie eine eindeutige Lösung u(x(t)) auf einem maximalen Existenzintervall .

Sei nun eine Lösung der Anfangswertaufgabe II. Bilden wir die Zeitableitung und verwenden wir die partielle Differentialgleichung gilt

und berechnet sich entlang jeder Charakteristik des Anfangswertproblems I gemäß dieser Differentialgleichung! Wegen

ist der Anfangswert für Anfangswertproblem III festgelegt.

5.) Beispiel und Aufgabe

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Beispiel

Sei . Dann berechnen sich die Charakteristiken aus

zu

Das lässt sich eindeutig auflösen zu . Dann ermittelt sich u gemäß

zu

Aufgabe

Sei und offen. Seien gegeben, die das folgende partielle Differentialgleichungssystem erfüllen

Zeige, dass die Telegraphengleichung erfüllen, d.h.

Wie kommt man auf den Beweis?

Löse die erste Gleichung auf nach und setze ein in die zweite Gleichung.

Beweis

Für v analog.