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Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Eindeutigkeit beim inhomogenen Problem – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir

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Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nach der Wärmeleitungsgleichung gehen wir nun zur Wellengleichung über, sie lautet

Sie heißt homogen für , sonst inhomogen.

Wir bewiesen die Darstellungsformel für die Lösung im Ganzraum und ein Spiegelungsprinzip. Dann zeigten wir die Euler-Poisson-Darbaux-Gleichung und die Kirchhoffsche Regel, das ist der Ganzraumfall für Dimension n=3. Daraus leiteten wir die Lösung für Dimension n=2 mit der Methode des Abstiegs her. Nun verwenden wir die Energiemethode, um die Eindeutigkeit der Lösung des inhomogenen Problems zu beweisen.

Die Energie der Lösung ist konstant

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Satz

Seien offen und beschränkt mit -Rand, sei und sei Lösung von

Dann ist die Energie

konstant, d.h .

Beweis

Da zweimal stetig differenzierbar ist, nimmt es auf dem kompakten Abschluss von sein Maximum an und dieses ist integrierbare Majorante. Damit lassen sich Integration und Differentiation vertauschen. Mit partieller Integration folgt

Damit ist konstant.

Eindeutigkeit des inhomogenen Problems

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Satz

Sei offen mit -Rand, und Lösungen von

mit

Beweis

Betrachte die Differenz . Für diese gilt

Da folgt

Nach dem letzten Hilfssatz ist die Energie konstant

Somit

Dann sind die einzelnen Terme unter dem Integral zwangsläufig Null und in und es folgt