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Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Eindeutigkeit der Lösungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir

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Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

Sie heißt homogen für , sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung zum Zeitpunkt und Wärmequellen und -senken vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. Die Lösung für den Ganzraumfall haben wir schon betrachtet. Dann haben wir die Wärmekugel (englisch heat ball) eingeführt und die Mittelwerteigenschaft bewiesen. Nun folgern wir daraus das Maximumprinzip. In diesem Kapitel beweisen wir drei verschiedene Varianten der Eindeutigkeit des Anfangswertproblems.

Eindeutigkeit gemäß dem Maximumprinzip

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Satz

Sei beschränkt und offen und . Dann gibt es höchstens eine Lösung der Anfangswertaufgabe

Beweis

Seien zwei Lösungen der Anfangswertaufgabe. Dann löst die Anfangswertaufgabe

Mit dem Maximumprinzip folgt , d.h.

Auch löst die Anfangswertaufgabe

und es folgt mit dem Maximumprinzip , d.h.

und damit

Eindeutigkeit mittels der Energiemethode

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Satz

Seien offen, beschränkt mit -Rand und und .

Seien zwei Lösungen. Dann gilt

Beweis

Für gilt

Setze

und berechne die Ableitung nach der Zeit. Integral und Ableitung lassen sich vertauschen, da und seine Ableitung stetig sind und beschränkt auf dem kompakten . Das ergibt mit partieller Integration Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

Damit ist monoton fallend und es folgt

Das ergibt mit der Randbedingung

damit folgen

Hilfssatz über das Supremum der Lösung auf

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Bisher hatten wir Eindeutigkeit für beschränkte Gebiete gezeigt, jetzt ist das Ziel die Eindeutigkeit auf unbeschränkten Gebieten. Dafür benötigen wir eine Zusatzbedingung an , dass nicht zu schnell anwächst. Und wir benötigen folgenden Hilfssatz.

Satz

Sei eine Lösung von

Zudem genüge der Wachstumsbedingung

mit . Dann gilt

Genügt die Lösung der Anfangswertaufgabe der unteren Schranke

so gilt

Beweis

1.) Seien und fest. Dann löst die Funktion

die homogene Wärmeleitungsgleichung in , denn

und

Zu beliebigem setze . Dann ist eine kalorische Funktion und mit dem Maximumprinzip erhalten wir

2.)

Sei beliebig. Da echt positiv ist, gilt

Für alle gilt

Es gelte . (Später zeigen wir das Argument für beliebig große ). Wähle ein mit . Dann gilt

und weiter

Wegen des Grenzwertes

gilt für große

somit

3.) Damit folgt

und mit obiger Anwendung des Maximumprinzips

Damit ergibt sich

und insgesamt

4.)

Wir hatten die Einschränkung formuliert. Ist größer, so betrachtet man die Intervalle mit . Dann gilt

Benennt man nun die Zeit , so lässt sich der Beweis auf Schritte 1.)-3.) zurückführen. Wieso genau? Hat jemand eine Idee?

To-Do:

Wieso gilt das? Hat jemand eine Idee? Nachzutragen

Eindeutigkeit auf

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Satz

Seien und . Dann hat die Anfangswertaufgabe

höchstens eine Lösung , die der Wachstumsbedingung

mit Konstanten genügt

Beweis

Seien zwei Lösungen. Dann löst die Gleichung

und es gilt die Wachstumsbedingung

Mit dem gerade gezeigten Hilfssatz folgt und somit .

Genauso löst die Gleichung (da die Ableitungen linear sind) und es folgt . Das ergibt