Regelintegral – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Beim Regel-Integral handelt es sich um eine Alternative zum Riemann-Integral. Es ist damit um eine weitere Möglichkeit, den anschaulichen Integralbegriff aus der Schule mathematisch präzise zu erfassen.

Regelfunktion

Definition

Definition (Regelfunktion)

Man nennt eine Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ($a,b\in \mathbb {R}$, $a<b$) Regelfunktion, falls eine Folge von Treppenfunktionen $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ existiert, sodass diese Folge gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.

Wir wollen für solche Regelfunktionen das Regelintegral durch $R(f)=\lim _{n\to \infty }R(f_{n})$ definieren. Dabei wird das Regelintegral einer Treppenfunktion kanonisch definiert. Darüber hinaus müssen wir nur zeigen, dass ein solch definierter Integralbegriff für Regelfunktionen tatsächlich wohldefiniert und sinnvoll ist.

Aber lasst uns erst mal eine Intuition für solche Regelfunktionen kriegen:

• Jede stetige Funktion ist Regelfunktion

• Indikatorfunktion auf irrationalen Zahlen ist keine Regelfunktion

To-Do:

weiter und präzise ausführen

Wie geben hiermit eine andere, äquivalente Charakterisierung von Regelfunktionen (ohne Beweis):

Satz (Alternative Charakterisierung von Regelfunktionen)

Funktionen $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ sind genau dann Regelfunktionen, wenn es in jedem Punkt linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte gibt, d.h.$\lim _{x\searrow a}f(x)$ und $\lim _{x\nearrow b}f(x)$ - sowie für alle $p\in ]a,b[$ - die Grenzwerte $\lim _{x\nearrow p}f(x)$ und $\lim _{x\searrow p}f(x)$ existieren.

Regelintegral

Nun möchten wir uns dem Integralbegriff für Regelfunktionen, also dem Regelintegral, zuwenden. Mögliche Probleme für die Wohldefiniertheit können die folgenden sein:

Sei $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine gleichmäßig approximierende Funktionsfolge von Treppenfunktionen:

• Wieso sollte der Ausdruck $R(f)=\lim _{n\to \infty }R(f_{n})=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)$ überhaupt konvergieren?
• Erhalte ich stets denselben Grenzwert $R(f)=\lim _{n\to \infty }R(f_{n})$ für das Integral, auch für unterschiedliche Folgen von approximierenden Treppenfunktionen?

Satz (Alternative Charakterisierung von Regelfunktionen)

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine Regelfunktionen, wobei $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(h_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen von Treppenfunktionen sind, die gleichmäßig gegen $f$ konvergieren. Dann konvergieren die Folgen $(\int _{a}^{b}g_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(\int _{a}^{b}h_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und die Grenzwerte sind gleich.

Es stellt sich heraus, dass das Regelintegral einfacher als das Riemann-Integral zu definieren ist. Genau genommen gilt sogar:

Satz (Alternative Charakterisierung von Regelfunktionen)

Alle Regel-Funktionen sind auch Riemann-integrierbar und die Integralwerte stimmen miteinander überein.

Andererseits gibt es aber Funktionen, die Riemann-integrierbar - jedoch nicht regelintegrierbar - sind.

Beispiel

Beispiel (Eine nicht regelintegrierbare Funktion)

Eine Funktion, die keine Regelfunktion ist, ist die folgende:

Man definiere die Funktion $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ durch $f(x)=\mathrm {1} _{\{2^{-n}|n\in \mathbb {N} \}}(x)$. Bei dieser Funktion existiert der Grenzwert $\lim _{x\searrow 0}f(x)$ nicht.

Insbesondere ist für diese Funktion das Regelintegral nicht definiert. Diese Funktion ist aber Riemann-integrierbar mit Integralwert $0$, denn ein Intervall $[0,\epsilon ]$ hat einen maximalen Beitrag von $\epsilon$ zum Integral. Im Intervall $[\epsilon ,1]$ gibt es maximal endlich viele Sprungstellen $x$ mit Funktionswert $f(x)=1$. Für eine hinreichend feine Partition des Intervalls $[\epsilon ,1]$ kann man den Integralbeitrag von $[\epsilon ,1]$ ebenso von oben mit $\epsilon$ abschätzen. Somit ist das gesamte Riemann-Integral maximal $2\epsilon$ für beliebige $\epsilon$.

To-Do:

Ist die folgende Aussage im Kaptiel zu Riemann-Integralen bereits enthalten?

Nämlich gilt, dass eine Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn es für jedes $\epsilon >0$ Treppenfunktionen $g,h:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ (für alle $x\in [a,b]$) gibt, sodass $I(h)-I(g)<\epsilon$ gilt. Riemann-integrierbare Funktionen sind also solche Funktionen, die sich durch zwei Treppenfunktionen einschließen lassen, bei denen der Unterschied derer Integrale beliebig klein werden kann. Regelfunktionen, d.h. regelintegrierbare Funktionen, müssen dahingegen gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar sein, welches eine stärkere Anforderung an die Funktion ist.

Wie können wir das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ für eine Treppenfunktion $f$ berechnen?

To-Do:

Bild von einer Treppenfunktion mit $n$ Rechtecken

Anschaulich entspricht das Integral der Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche können wir in $n$ Rechtecke unterteilen. Das $i$-te Rechteck hat die Breite $x_{i+1}-x_{i}$ und die Höhe $c_{i}$. Insgesamt ergibt sich also für die Fläche unter dem Graphen von $f$

$\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_{i})c_{i}$

Wir beweisen nun, dass dies dem Integral $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ entspricht.

Satz

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ eine Treppenfunktion. Seien $x_{0},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ mit $a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b$. Weiter sei $c_{i}\in \mathbb {R}$ für alle $i\in \{0,\ldots ,n-1\}$, so dass $f(x)=c_{i}$ für alle $x\in [x_{i},x_{i+1}[$ für $i\neq n-1$ bzw. $x\in [x_{n-1},x_{n}]$ für $i=n-1$. Dann gilt

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_{i})c_{i}$

Beweis

Sei $({\mathcal {Z}},{\mathcal {T}})$ eine Unterteilung von $[a,b]$ mit ${\mathcal {Z}}=\{z_{0},\ldots ,z_{m}\}$ und ${\mathcal {T}}=\{t_{0},\ldots ,t_{m-1}\}$ für ein $m\in \mathbb {N}$ mit $t_{j}\in [z_{j},z_{j+1}]$ für alle $j\in \{0,\ldots ,m-1\}$.