Mathematik: Analysis: Konvergenz von Reihen

Einleitung

Die Folge der Partialsummen der Reihe sei $(s_{n}):=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$. Die Reihe heißt genau dann konvergent, wenn $\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}<\infty$.

Der Grenzwert von $(s_{n})$ wird als Summe oder Wert der Reihe bezeichnet: $S=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)=:\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.

Nicht konvergente Reihen heißen divergent.

Cauchykriterium

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert dann, wenn die Folge der Partialsummen $(s_{n})$ eine Cauchy-Folge ist.

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert absolut, wenn $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ konvergiert.

Majorantenkriterium

Gegeben sei die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ heißt Majorantenreihe zu $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, falls $\exists k_{0}\in \mathbb {N} \colon \forall k\geq k_{0}:\left|a_{k}\right|\leq b_{k}$. Das heißt, alle außer endlich vielen Elementen $a_{k}$ müssen kleineren Betrags als $b_{k}$ sein. Nämlich jene für die gilt $k\geq k_{0}$.

Wenn eine Majorantenreihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ konvergiert, so ist auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergent.

Beispiele

erstes Beispiel

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}\leq {\frac {3}{2}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {2\cdot n^{n-2}}{n^{n}}}\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

$2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ ist eine Majorante, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Also konvergiert auch $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}$.

Quotientenkriterium

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert absolut, wenn $\exists k_{0}$, so dass $\forall k>k_{0}$ gilt: $\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\leq q<1$

Wurzelkriterium

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert absolut, wenn $\exists k_{0}$ mit $\forall k>k_{0}:{\sqrt[{k}]{\left|a_{k}\right|}}\leq q<1$

Leibnizkriterium

Reihen $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot a_{k}$ mit $a_{k}\in \mathbb {R}$ heißen alternierende Reihen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Summanden abwechselnd positiv und negativ sind.

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit $\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n})=0$.

Dann konvergiert die Reihe.

Beispiele

$\left(a_{k}\right)_{k=1}^{\infty }=\left({\frac {(-1)^{k}}{k}}\right)_{k=1}^{\infty },a_{k}\cdot a_{k+1}={\frac {(-1)^{k}(-1)^{k+1}}{k\cdot (k+1)}}={\frac {-1}{k\cdot (k+1)}}<0$ (Reihe alterniert)

$b_{k}=(-1)^{k}\cdot a_{k}=(-1)^{k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}={\frac {1}{k}}$, also $\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }=\left({\frac {1}{k}}\right)_{k=1}^{\infty }\rightarrow 0$ (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)

Integraltest

Sei $a_{k}=f(k)$, wobei $f:[1,\infty )\rightarrow \mathbb {R}$ stetig, monoton abnehmend. Dann gilt:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)<\infty \Leftrightarrow \int _{1}^{\infty }f(t)\ dt<\infty$

Beispiel

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ konvergiert, da $f(t)={\frac {1}{t^{2}}}$ monoton fallend ist und $\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{t^{2}}}\ dt=-{\frac {1}{t}}|_{1}^{\infty }=1<\infty$