Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Linearkombinationen und Unterräume

Mathematik Lineare Algebra Vektorräume

Linearkombinationen

Nehmen wir uns mal ein paar Vektoren $(v_{i})_{i\in I}$ aus einem Vektorraum $V$, wobei $I$ eine beliebige Menge ist. Wir wissen nach Definition können wir jeden dieser Vektoren mit einem Skalar multiplizieren und dann alle summieren und haben immer noch einen Vektor $u$ in $V$, also ist $u=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot v_{i}$ für $\lambda _{i}\in K$. Wir für ein solches $u\in V$ sagen wir mit $u$ ist eine Linearkombination der Vektoren $(v_{i})_{i\in I}$.

Beispiele

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$, also ist ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ eine Linearkombination von ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}0,5\\1\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$, also ist ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ eine Linearkombination von ${\begin{pmatrix}0,5\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$.

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}0,5\\0\end{pmatrix}}+\mu \cdot {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}$, da es kein $\lambda ,\mu \in K$ gibt, die diese Gleichung erfüllen, ist ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ keine Linearkombination von ${\begin{pmatrix}0,5\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}$.

Der Spann / Das Erzeugnis

Haben wir nun Vektoren $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V$ so wird die Menge aller Linearkombinationen aus diesen Vektoren das Erzeugnis/der Spann genannt. In Symbolsprache: $<v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>$ ist das Erzeugnis und $span(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ der Spann.

Satz: $<v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>$ ist ein Untervektorraum (für den Spann geht es genauso).

Beweis

1. $0=\sum _{i=0}^{n}0\cdot v_{i}\in <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>$

2. Seien $u,v\in <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>$ und $\lambda ,\mu \in K$ so ist trivialerweise : $\lambda \cdot u+\mu \cdot v\in V$.

Denn eine Linearkombination von Linearkombinationen ist eine Linearkombination der Ursprünglichen Vektoren.

Unterräume

Der Unterraum (genauer Untervektorraum) ist ein Vektorraum der ganz in einem Vektorraum liegt.

Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Eine Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn sie mit den von $V$ induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

• $0\in U$ und
• für alle $u,v\in U$ auch $u+v\in U$ und
• für alle $\lambda \in K$ und alle $u\in U$ auch $\lambda \cdot u\in U$

gilt. Wobei man die Letzteren Beiden auch zusammenfassen kann mit:

• für alle $u,v\in U,\lambda ,\mu \in K$ gilt : $\lambda \cdot u+\mu \cdot v\in U$

Beispiele

Kanonischer Unterraum

Sei $V=K^{n}$ so ist jeder $K_{i}^{n}$ mit ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ mit $x_{i}=0$ ein Untervektorraum.

Gerade und Ebene

Sei $V=R^{3}$ ein Vektorraum. So ist eine Ebene $E$ die Menge alle Vektoren der Form $v=\lambda \cdot w+\mu \cdot u$ für zwei eindeutige Vektoren $u,w\in V$ und für alle $\lambda ,\mu \in K$.

Die Gerade besteht aus allen Vektoren der Form $v=\lambda \cdot w$ für ein eindeutigen Vektor $u\in V$ und für alle $\lambda \in K$.

Man sieht schnell (Übungsaufgabe), dass die Ebene und die Gerade Untervektorräume von $V$ sind und die Gerade ein Untervektorraum der Ebene ist.