Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K5: Identisch verteilte Zufallsvariablen
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K5: Identisch verteilte stochastische Variablen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
5.5 Identisch verteilte Zufallvariablen
[Bearbeiten]Zwei Zufallvariablen X und Y können, obwohl sie verschieden sind und möglicherweise auf ganz unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsräume definiert sind, doch dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben.
Beispiel 1
[Bearbeiten]Wir werfen einen fairen Würfel und nennen die Augenzahl X. Wenn wir Y=7–X definieren, ist Y verschieden von X, aber hat dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung wie X.
Beispiel 2
[Bearbeiten]Es sei X binomialverteilt mit Parametern n und 1/2, und Y = n - X; dann sind X und Y verschieden, aber haben dieselbe Verteilung.
Definition 5.5.1
[Bearbeiten]Wir nennen zwei stochastische Variablen oder Vektoren X und Y identisch verteilt, und notieren X ~ Y, wenn X und Y dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben, also wenn SX = SY und pX = pY.
Wir können identisch verteilte Zufallvariablen manchmal geschickt benutzen, denn, wenn X und Y identisch verteilt sind, sind z.B. auch X2 und Y2 oder X-3 und Y-3 identisch verteilt. Allgemein gilt:
Satz 5.5.1
[Bearbeiten]Wenn X und Y identisch verteilt sind, sind auch g(X) und g(Y) identisch verteilt.
Wir zeigen eine Anwendung.
Beispiel 3
[Bearbeiten]Es seien X und Y unabhängig und beide binomialverteilt mit Parametern bzw. m und p, und n und p. Im vorigen Paragrafen berechneten wir dass X+Y auch binomialverteilt ist, und zwar mit Parametern m+n und p. Wir können dieses Ergebnis auch auf ganz einfache Weise bekommen mit Hilfe identisch verteilter Zufallvariablen. Es seien Z1,...,Zm,Zm+1,...,Zm+n unabhängige identisch verteilte Bernoulli-Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Also P(Zk=1) = 1 – P(Zk=0) = p. Wir wissen schon dass X ~ Z1+...+Zm und Y ~ Zm+1+...+Zm+n. Wegen der Unabhängigkeit ist also (X,Y) ~ (Z1+...+Zm, Zm+1+...+Zm+n). Wir dürfen nun konkludieren dass X + Y ~ Z1+...+Zm+n, also dass X + Y binomialverteilt ist mit Parametern m+n und p.