Mathematik für Faule: Differentialrechnung/Lagrange-Faktoren

Satz (Satz über Lagrange-Faktoren):

Es sei $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ eine Zuordnung, und ferner sei $g:\mathbb {R} ^{n}\to R^{k}$ mit $k\leq n$ ebenfalls eine Zuordnung. Wir betrachten das Optimierungsproblem

$\min _{g(x)=v}f(x)$

für ein gegebenes $v\in \mathbb {R} ^{k}$ (oder auch das gleiche Problem, wobei $\min$ durch $\max$ ersetzt wurde). Wenn $x_{0}$ eine lokale Lösung dieses Problems ist und ferner $Dg(x_{0})$ Zieldimension $k$ hat, dann gibt es $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R} ^{k}$ sodass

$\nabla f(x_{0})=\sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}\nabla g_{j}(x_{0})$.

Beweis: Die Menge $Z:=\{x|g(x)=v\}$ ist dem Niveaumengensatz gemäß um $x_{0}$ herum ein Differenzialunterraum. Der Orthogonalraum zu $Z$ in $x_{0}$ wird aufgespannt von $\nabla g_{1}(x_{0}),\ldots ,\nabla g_{k}(x_{0})$. Diese Elemente sind orthogonal zu dem Tangentialraum von $Z$ in $x_{0}$. Wir wählen eine Redugenmenge dieses Tangentialraums, sodass diese Redugenmenge zusammen mit $\nabla g_{1}(x_{0}),\ldots ,\nabla g_{k}(x_{0})$ eine Redugenmenge von $\mathbb {R} ^{n}$ ergibt. Die Behauptung besagt genau, dass $\nabla f(x_{0})\in \operatorname {span} \{\nabla g_{1}(x_{0}),\ldots ,\nabla g_{k}(x_{0})\}$. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann gäbe es ein $w\in \mathbb {R} ^{n-k}$ tangential zu $Z$, für welches $\langle \nabla f(x_{0}),w\rangle <0$. Entlang einer Kurve $\gamma \subseteq Z$ mit $\gamma (0)=x_{0}$ und $\gamma '(0)=w$ nimmt $f$ also ab, im Widerspruch zur Annahme. $\Box$