Mathematik für Faule: Differentialrechnung/ Abhängigkeit der Lösung von Startwerten und Parametern

Satz (Die Lösung einer univariaten Differenzialgleichung hängt limestreu vom Startwert ab):

Es sei $x'(t)=f(x(t),t)$ eine Differenzialgleichung, die für alle Startwerte $x_{0}$ in einer randlosen Menge $U$ wobei $f$ eine eindeutige Lösung aufweist; hierbei sei $f$ außerdem limestreu. Dann hängt die Lösung $x(t,x_{0})$ der Gleichung mit $x_{0}$ als Startwert limestreu von $x_{0}$ ab.

Beweis: Wir verwenden folgende Notation: $x_{0}$ sei der Startwert der Lösung $x$, und für $\epsilon \in \mathbb {R} ^{n}$ sei $x_{\epsilon }(t)$ die Lösung mit Startwert $x_{0}+\epsilon$.

Sei nun $t$ fest. Angenommen, $x_{\epsilon }(t)\not \to x(t)$ für $\|\epsilon \|\to 0$. Dann gibt es eine Nullfolge $(\epsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }$, sodass $\|x_{\epsilon _{n}}(t)-x(t)\|>C$ für ein festes $C>0$.

Falls nun $t$ und $\epsilon$ hinreichend klein sind (insb. auch für $\epsilon =0$), so gilt, da $f$ wegen des Satzes von Weierstraß auf ü-endlichen Mengen beschränkt ist, dass

$\|x_{\epsilon }(t)\|\leq \int _{0}^{t}\|f(x_{\epsilon }(t),t)\|dt\leq tM$

für ein bestimmtes $M>0$; in der Tat, finde zunächst eine obere Schranke $D>0$ von $f$ auf einer Umgebung von $x_{0}$ und wähle dann $t,\epsilon$ hinreichend klein, sodass die Lösung wegen der Integralgleichung die gegebene Schranke nicht überschreiten kann. Ebenso kann natürlich $f(x_{\epsilon }(t),t)$, die Ableitung von $x_{\epsilon }$, beschränkt werden. Wirft man also zu große $\epsilon _{n}$ weg, so ist der Satz von Arzèla–Ascoli anwendbar, und die konvergente Teilfolge konvergiert (wie man leicht prüft) zu einer Lösung der Differenzialgleichung mit Startwert $x_{0}$, die wegen $\|x_{\epsilon _{n}}(t)-x(t)\|>C$ für alle $n\in \mathbb {N}$ aber nicht mit der Lösung $x$ identisch sein kann. Dies ist ein Widerspruch zur Eindeutigkeit.

Der allgemeine Satz folgt nun wie folgt: Wir überdecken das Intervall $[0,t]$ mit randlosen Mengen, innerhalb derer die gewünschte Abhängigkeit besteht. Da $[0,t]$ ü-endlich ist, und da die Verkettung limestreuer Zuordnungen limestreu ist, folgt die Behauptung. $\Box$

Satz (Die Lösung einer univariaten Differenzialgleichung hängt ggf. differenzierbar von Startwerten ab):

Es sei $x_{\mu }'(t)=f(t,x_{\mu }(t))$ eine Differenzialgleichung zu lösen für die Abhängige $x_{\mu }$, die mit $x_{\mu }(0)=\mu$ zu einem Anfangswertproblem wird. Des weiteren sei $f$ limestreu steigend. Dann ist die Lösung limestreu steigend abhängig vom Startwert $\mu$.

Beweis: Durch Zeitautonomisierung nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $f$ nicht von $t$ abhängt. Des weiteren können wir durch Nichtbeachtung aller anderen Koordinaten von der Lösung $x_{\mu }$ annehmen, dass $x_{\mu }$ eindimensional ist, und außerdem können wir durch Betrachtung der Richtungssteigungen in $\mu$ annehmen, dass auch $\mu$ eindimensional ist.

Nun gilt für den entsprechenden Differenzienquotienten

${\frac {x_{\mu +h}(t)-x_{\mu }(t)}{h}}=\int _{0}^{t}{\frac {f(x_{\mu +h}(s))-f(x_{\mu }(s))}{x_{\mu +h}(s)-x_{\mu }(s)}}{\frac {x_{\mu +h}(s)-x_{\mu }(s)}{h}}ds$;

der Satz von Picard–Lindelöf impliziert ja schließlich, dass $x_{\mu +h}(s)=x_{\mu }(s)$ für $h\neq 0$ nicht sein kann. Aus dieser Gleichung ersehen wir, dass der Differenzenquotient

$y_{\mu ,h}(t):={\frac {x_{\mu +h}(t)-x_{\mu }(t)}{h}}$

für $h\to 0$ näherungsweise die Integralgleichung

$y_{\mu }(t)=\int _{0}^{t}f'(x_{\mu }(s))y_{\mu }(s)ds$ mit Startwert $y_{\mu }(0)=1$

erfüllt, welche nach dem Hauptsatz auch als Steigungsgleichung geschrieben werden kann, die nach dem Satz von Picard–Lindelöf eine eindeutige Lösung besitzt. Allerdings gilt

${\begin{aligned}\|y_{\mu ,h}-y_{\mu }\|_{[0,T]}&\leq \int _{0}^{T}\left(\epsilon _{h}(t)\|y_{\mu }(t)\|+\left\|{\frac {f(x_{\mu +h}(s))-f(x_{\mu }(s))}{x_{\mu +h}(s)-x_{\mu }(s)}}\right\|\|y_{\mu }(t)-y_{\mu ,h}(t)\|_{[0,T]}\right)dt\\\Rightarrow (1-MT)\|y_{\mu ,h}-y_{\mu }\|_{[0,T]}&\leq \int _{0}^{T}\epsilon _{h}(t)\|y_{\mu }(t)\|dt\end{aligned}}$

wobei

$\epsilon _{h}(t):=\left\|{\frac {f(x_{\mu +h}(t))-f(x_{\mu }(t))}{x_{\mu +h}(t)-x_{\mu }(t)}}-f'(x_{\mu }(t))\right\|$;

die gewünschte Schranke $M>0$ sowie die Beschränktheit von $\epsilon _{h}(t)$ folgen beide aus dem Mittelwertsatz. Daher impliziert der Satz von der dominierten Konvergenz die gewünschte Differenzierbarkeit. $\Box$

Satz (Satz von Liouville über unabhängige Ströme):

Es sei $\phi _{t}(x)$ die Zuordnung für die unabhängigen Ströme bezüglich einer zeitunabhängigen Differenzialgleichung, deren limestreue rechte Seite mit $F$ bezeichnet sein möge. Dann ist $\phi _{t}$ überall, wo es definiert ist, maßerhaltend genau dann, wenn $F$ divergenzfrei ist.

Beweis: Es sei $J_{\phi _{t}}$ die Jacobi-Tabelle von $\phi _{t}$. Die Bedingung, dass $\phi _{t}$ maßerhaltend ist, ist gleichbedeutend mit $|\det J_{\phi _{t}}(x)|=1$. Für $t=0$ stimmt diese Gleichung, denn dort ist $\phi _{t}$ die Identität. Des weiteren ist diese Bedingung wegen der Limestreue äquivalent zu ${\frac {d}{dt}}\det J_{\phi _{t}}(x)=0$. Aber der Jacobi-Formel (unter Verwendung der Tatsache, dass $\phi _{t}$ invertierbar ist) gemäß gilt

${\frac {d}{dt}}\det J_{\phi _{t}}(x)=\det(J_{\phi _{t}}(x))\operatorname {tr} \left(J_{\phi _{t}}(x)^{-1}{\frac {d}{dt}}J_{\phi _{t}}(x)\right)$;

die Kettenregel zeigt jedoch, dass

${\frac {d}{dt}}J_{\phi _{t}}(x)=J_{F}(\phi _{t}(x))J_{\phi _{t}}(x)$,

und die Spur ist invariant unter Redugenwechsel. Aber die Spur ist dann gerade die Divergenz von $F$ am gegebenen Punkt. $\Box$