Existenz und Eindeutigkeit univariater Differentialgleichungen

Satz (Peano):

Es sei eine Differentialgleichung $y'(t)=f(t,y(t))$ gegeben, mit Startbedingung $y(t_{0})=x_{0}$; hierbei sei $f$ definiert auf einer randlosen Teilmenge $U$ von $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$. Ist $f$ limestreu, so gibt es ein Intervall $I\ni t_{0}$, sodass die Differentialgleichung auf $I$ eine Lösung besitzt.

Beweis: Durch Zeitautonomisierung nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $f$ nicht von $t$ abhängt. Nun liefert das Eulerverfahren mit Schrittweite $h>0$ angewandt auf die gegebene Steigungsgleichung eine Näherungslösung $y_{h}$, die gegeben ist durch

$y_{h}((n+1)h)=y_{h}(nh)+hf(y_{h}(nh))$

bzw. die lineare Interpolation zwischen den Gitterpunkten. Durch Iterationsdeduktion folgt, dass $y_{h}$ von $h$ unabhängig auf ü-endlichen Mengen beschränkt ist, und nach Definition und Limestreue von $f$ gilt dies auch für die Steigung von $y_{h}$. Daher ist der Satz von Arzelà–Ascoli anwendbar und wir erhalten eine Nullfolge $h_{k}\to 0$, sodass $y_{h_{k}}$ mit $k\to \infty$ gegen eine Abhängige $y$ konvergiert, von der wir nun zeigen werden, dass sie die gewünschte Gleichung löst.

Durch Iterationsdeduktion sehen wir, dass $y_{h}$ eine Integralgleichung der Form

$y_{h}(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}\sum _{n=0}^{k_{t}}f(y_{h}(nh))\mathbf {1} _{[nh,(n+1)h)}(s)ds$

erfüllt. Nun sei $t\in [0,T]$, wobei $T>0$ klein genug ist, sodass $y_{h}$ für beliebig kleine $h$ noch existiert (d. h. die Definitionsmenge von $f$ nicht verlässt). Des weiteren sei $k\in \mathbb {N}$ und $n$ so gewählt, dass $t\in [nh_{k},(n+1)h)$. Dann gilt

$\|f(y_{h_{k}}(nh_{k}))-f(y(t))\|\leq \|f(y_{h_{k}}(nh_{k}))-f(y(nh_{k})\|+\|f(y(nh_{k})-f(y(t))\|\to 0,k\to \infty$

wegen Heine–Cantor angewandt auf $f$, und der Satz von der dominierten Konvergenz beweist, dass $y$ die gewünschte Integral- und somit die gewünschte Steigungsgleichung erfüllt. $\Box$

Satz (Picard–Lindelöf):

Es sei wieder eine Differentialgleichung $y'(t)=f(t,y(t))$ gegeben, mit Startbedingung $y(t_{0})=x_{0}$; hierbei sei $f$ limestreu und definiert auf einer randlosen Teilmenge $U$ von $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$. Falls $f$ lokal um einen Punkt $(t_{0},x_{0})$ herum eine Lipschitz-Konstante in der zweiten Variablen besitzt, so gibt es ein kleines Intervall $I\ni t_{0}$, sodass die Differentialgleichung auf $I$ eine eindeutige Lösung besitzt. Hat $f$ in jedem Punkt solche Lipschitz-Konstanten in der zweiten Variablen, so ist die Lösung global eindeutig.

Beweis: Die Existenz folgt aus dem vorhergehenden Satz von Peano. Seien nun $x,y$ zwei Lösungen der Differentialgleichung, und sei $L$ eine Lipschitz-Konstante um $(t_{0},x_{0})$. Wenn $t_{1}$ hinreichend klein ist, kann eine Lösung wegen der von der Limestreue von $f$ implizierten lokalen Beschränktheit den Bereich der Gültigkeit der Lipschitz-Bedingung bis zum Zeitpunkt $t_{1}$ nicht verlassen. Dann gilt für $t\leq t_{1}$ wegen der Limestreue von $x$ und $y$

$\|x(t)-y(t)\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(t,x(t))-f(t,y(t))dt\right\|\leq (t_{1}-t_{0})L\|x-y\|_{[t_{0},t_{1}]}$,

woraus folgt

$\|x-y\|_{[t_{0},t_{1}]}\leq (t_{1}-t_{0})L\|x-y\|_{[t_{0},t_{1}]}$.

Wenn $t_{1}$ nahe genug an $t_{0}$ ist, ist $(t_{1}-t_{0})L<1$, und es folgt $x(t)=y(t)$ für $t_{0}\leq t\leq t_{1}$. Ähnlich argumentiert man ggf. auch für $t_{1}<t_{0}$.

Dies beweist die lokale Aussage. Für die globale Aussage seien nun Lösungen $x,y$ gegeben, die maximal fortgesetzt sind. Wir wollen $x=y$ auf der Schnittmenge der Definitionsintervalle (die dann aber auch gleich sein müssen wg. der Möglichkeit des Zusammenhängens von Lösungen) beweisen. Es sei $J$ die Schnittmenge der Definitionsintervalle. Definiere die Menge

$S:=\{t\in J|x(t)=y(t)\}$.

Aus der lokalen Aussage folgt, dass $S$ randlos ist, aber es ist wg. der Limestreue von $x$ und $y$ auch vollberandet, und da jedes Intervall zusammenhängend ist, gilt $S=J$ und $x=y$. $\Box$