Mathematik für Faule: Differentialrechnung/ Lokale Theorie multivariater Zuordnungen

Satz (Satz von der lokalen Umkehrzuordnung):

Es seien $U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und es sei $f:U\to V$ eine limestreu differenzierbare Zuordnung. Es sei $p\in U$ ein Punkt, an welchem $\det(J_{f})\neq 0$ gilt (dh. die Jacobi-Tabelle ist invertierbar). Dann gibt es eine kleinere Umgebung $W\subseteq U$ von $p$, sodass $f:W\to f(W)$ invertierbar ist; hierbei ist dann $f(W)$ randlos und die lokale Inverse ist ebenfalls limestreu differenzierbar. Außerdem gilt die Formel

$J_{f^{-1}}(y)=J_{f}(f^{-1}(y))^{-1}$

für alle $y\in f(W)$.

Beweis: Es sei $q=f(p)$. Ferner sei $v\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Einheitsvektor. Der Kettenregel zufolge wäre eine sinnvolle Differenzialgleichung der Kurve $\gamma (t):=f^{-1}(q+tv)$ gegeben durch

${\begin{cases}\gamma '(t)=J_{f}(\gamma (t))^{-1}v\\\gamma (0)=p\end{cases}}$.

Dem Satz von Peano zufolge hat diese Gleichung für $t$ in einer kleinen Nullumgebung, die wegen der Limestreue von $J_{f}$ (und somit gemäß der Formel von Cramér der von $J_{f}^{-1}$) von $v$ unabhängig gewählt werden kann, eine Lösung. Dadurch wird auf einem kleinen Ball $q+B_{r}(0)$ um $q$ eine Zuordnung $g$ nach $\mathbb {R} ^{n}$ definiert. Dies ist schon die gesuchte Umkehr; wir definieren dann ${\tilde {W}}:=f^{-1}(q+B_{r}(0))$.

Die Kettenregel zeigt, dass die Differenzierte von $f\circ \gamma$ konstant $v$ ist. Daraus folgt sofort, dass $f\circ g=\operatorname {Id}$.

Es ist noch $g\circ f=\operatorname {Id}$ zu zeigen. Hierzu zeigen wir, dass $f$ in einer hinreichend kleinen Umgebung von $p$ sepajektiv ist. Seien also $v_{1},v_{2}$ zwei Einheitsvektoren. Dann gilt

$f(p+hv_{1})-f(p+hv_{2})=hJ_{f}(p)(v_{1}-v_{2})+o(h)$,

und für $h\to 0$ folgt die Sepajektivität aus dem Satz von Weierstraß angewandt auf $J_{f}(p)$ eingeschränkt auf $S^{n}$.

Schlussendlich können wir dieselben Betrachtungen auch auf $p'$ in einer kleinen Umgebung von $p$ anwenden (man beachte, dass inverse Zuordnungen aus rein mengentheoretischen Gründen immer eindeutig sind) und erhalten, da ja die Richtungsdifferenzierten von $g$ per definitionem existieren, dass $g$ differenzierbar ist. $\Box$