Randverhalten der Lösungen univariater Differentialgleichungen

Satz (Verhalten der Lösung am Rande des maximalen Existenzintervalles):

Es sei wieder eine Differentialgleichung $y'(t)=f(t,y(t))$ gegeben, mit Startbedingung $y(t_{0})=x_{0}$; hierbei sei $f$ definiert auf einer randlosen Teilmenge $U$ von $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$. Falls $f$ limestreu ist, so verlässt $(t,x(t))$ (mit $x$ die nach vorhergehendem Satz eindeutige Lösung der Differentialgleichung), wenn $t$ gegen einen der beiden Endpunkte des maximalen Existenzintervalles geht, jede in $U$ enthaltene überdeckungsendliche Menge $K$.

Beweis: Wir kümmern uns ohne Beschränkung der Allgemeinheit nur um den rechten Endpunkt $b$ des Intervalles. Angenommen, $(t,x(t))$ würde für $t\to b$ immer wieder mindestens teils in $K$ liegen. Dann gibt es eine Folge $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{k}<\ldots$ mit $t_{k}\to b$, sodass $(t_{k},x(t_{k}))\in K$. Allerdings ist $K$ überdeckungsendlich, sodass eine Teilfolge extrahiert werden kann, die gegen einen Limes $(b,x^{*})$ konvergiert.

Wir wählen nun einen kleinen vollberandeten Ball ${\overline {B_{\epsilon }((b,x^{*}))}}$, der vollständig in $U$ liegt. Auf dieser überdeckungsendlichen Menge hat $f$ natürlich ein Maximum $M>0$. Die Distanz, die von der Kurve $(t,x(t))$ in einem Zeitabschnitt $\delta$ zurücklegen kann, ist also (mit dem richtigen Betrag gemessen) beschränkt durch

$\left\|\int _{c}^{d}f(s,x(s))ds\right\|+\delta \leq \delta (M+1)$,

wobei $c$, $d$ die Grenzen des Zeitabschnittes seien. Für $\delta$ hinreichend klein ist dieser Wert beliebig klein, und daher wird der Ball nie wieder verlassen; es gilt also

$\lim _{t\to b}(t,x(t))=(b,x^{*})$.

Dann kann man aber dank des Satzes von Peano die Lösung von $(b,x^{*})$ aus noch ein Stück weit fortsetzen, im Widerspruch dazu, dass $b$ ein Endpunkt des maximalen Existenzintervalles war. $\Box$