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Mathematik für Faule: Divoidtheorie und Polynomalgebra/Der Redugensatz und der Gradsatz

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Satz (Größe des Galois-Invoides):

Es sei eine endlichdimensionale Divoiderweiterung. Falls , so gilt .

Beweis: Falls endlichdimensional ist, so kann man finden mit

.

In dieser Kette ist jede Divoiderweiterung einfach, und hat daher ein Minimalpolynom. Ein -Dipfeil überführt eine Nullstelle eines solchen Minimalpolynoms in eine von , und es gibt daher nur soviele Möglichkeiten, wie dieses Polynom Nullstellen hat (und diese Zahl ist durch den Grad beschränkt). Da nach dem Redugensatz entsprechende Potenzen von eine Redugenmenge von bilden, bestimmen solche Wahlen komplett.

Also können wir die Behauptung aus dem Gradsatz folgern.