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Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Lokale Gestalt eben-differenzierbarer Zuordnungen

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Satz (Lokale Gestalt eben-differenzierbarer Zuordnungen):

Es sei eben-differenzierbar, wobei randlos seien. Ferner sei . Dann gibt es eine Umgebung von und zwei eben-differenzierbare Dipfeile und mit und , sodass

für ein

gilt.

Beweis: Durch Verschiebungen erreichen wir und . Wegen der Summendarstellung von können wir dann zerlegen als

mit . Allerdings ist auch limestreu und besitzt daher in einer kleinen Umgebung von eine -te Wurzel. Ferner existiert wegen der Produktregel und des Satzes von der inversen Zuordnung ein Inverses von . Mit diesem verknüpft hat die gewünschte Gestalt.

Satz (Eben-differenzierbare Zuordnungen bewahren Randlosigkeit):

Es sei eben-differenzierbar, wobei randlos seien. Falls dann randlos und zusammenhängend ist, und falls auf nicht konstant ist, so ist auch randlos.

Beweis: Wir beweisen, dass für jedes eine randlose Umgebung dieses Punktes existiert, deren Bild durch randlos ist. Nach vorhergehendem Satz reicht es, zu beweisen, dass die Funktion eine Nullumgebung. Für diese Funktion allerdings folgt sie daraus, dass wegen der Polarkoordinatendarstellung

gilt.

Satz (Bei Verschwinden der Ableitung ist eine eben-differenzierbare Zuordnung nicht sepajektiv):

Es sei eben-differenzierbar, und es sei mit . Dann ist in jeder hinreichend kleinen Umgebung von nicht sepajektiv.

Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gehen wir von aus. Der Kettenregel zufolge muss um herum von der Gestalt mit sein. Diese Funktion ist aber in Nullumgebungen nicht sepajektiv.

Satz (Inversionssatz von Lagrange):

Es sei eben-differenzierbar, und es sei mit . Es sei

.

Dann gilt für

.

Beweis: Gemäß der Cauchy-Integralformel gilt

,

wobei ein beliebiger hinreichend kleiner den Punkt einfach durchlaufender Pfad ist. Ist der Pfad also hinreichend klein, so ist auch "hinreichend" lokal invertierbar, und wir können den Transformationssatz anwenden:

.

Da lokal invertierbar und hinreichend klein ist (und somit den Punkt einfach durchläuft), ist nach der Cauchyschen Integralformel (angewandt auf ) der Ausdruck

aber gerade gleich .