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Mathematik für Faule: Lineare Algebra/Ü-endlichierende Zuordnungen

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Definition (Ü-endlichierende Zuordnung):

Es seien und Linearitätsräume, wobei zusätzlich eine Distanz habe, und wenigstens eine Toposmenge. Eine lineare Zuordnung heißt ü-endlichierend genau dann, wenn ü-endlich ist.

Satz (Der Rayleigh-Quotient liefert Eigenwerte):

Es sei ein Hilbertraum und eine spiegelsymmetrische, ü-endlichisierende lineare Zuordnung. Falls

,

so ist dieser Wert der maximale Eigenwert von . Ist ferner

,

so ist dieser Wert der minimale Eigenwert von .

Beweis: Wir beweisen nur die Formel für den maximalen Eigenwert. Die für den minimalen Eigenwert folgt, wenn man durch ersetzt. Falls endlichdimensional ist, können wir den Satz von den Lagrange-Faktoren benutzen, um zu beweisen, dass das gegebene Maximum einen Eigenwert liefert (der a priori noch nicht der größte sein muss; siehe dafür unten).

Nun sei unendlichdimensional. Da ü-endlichisierend ist, können wir eine abzählbare Redugenmenge wählen, sodass alle Elemente von , welche nicht in liegen, von zur zugeordnet werden. Es sei die Orthogonalprojektion auf . Dann gilt , falls . Ferner ist spiegelsymmetrisch auf : Für gilt nämlich, da ja als Orthogonalprojektion ebenfalls spiegelsymmetrisch ist, und da spiegelsymmetrisch ist, dürfen wir und vertauschen und zurückrechnen. Aus dem endlichdimensionalen Fall folgt, dass es ein Eigenelement von gibt mit , dessen Eigenwert der maximale Rayleigh-Quotient (nennen wir ihn ) von ist. Zunächst bemerken wir, dass

mit ,

da wir das Supremum durch einen Einheitsvektor in beliebig approximieren können.

Nun ist ferner ü-endlichisierend, und daher können wir eine Teilfolge von wählen, sodass für ein . Es gilt dann

,

wobei alle Summanden auf der rechten Seite gegen null gehen. Daher auch

und ist ein Eigenelement.

Satz (Eigenelementzerlegung):

Es sei ein Hilbertraum und eine spiegelsymmetrische, ü-endlichisierende Zuordnung. Dann gibt es eine Redugenmenge von , die ausschließlich aus Eigenelementen von besteht.

Beweis: Wir ordnen alle Orthonormalsysteme, die sämtlich aus Eigenelementen von bestehen, bezüglich Inklusion an. Aus dem Satz von Zorn folgt, dass es ein maximales solches Orthonormalsystem gilt. Sei dieses Orthonormalsystem. Falls noch keine Redugenmenge ist, so können zwei Fälle auftreten:

  1. Der Rayleigh-Quotient aller Elemente in ist null. Dann ist und daher können wir noch um Eigenelemente zum Eigenwert ergänzen, ein Widerspruch.
  2. Der Rayleigh-Quotient aller Elemente in ist ungleich null. Dann können wir wegen (was leicht nachzuweisen ist) einen Eigenvektor in erhalten, und diesen zu hinzufügen, und das ist ebenfalls ein Widerspruch.