Mathematik für Faule: Lineare Algebra/ Isometrien

Satz (Isometrien von Hilberträumen, die den Nullpunkt erhalten, sind nillinear und orthonormal):

Es seien $H,H'$ Hilberträume und $\varphi :H\to H'$ eine Isometrie mit $\varphi (0)=0$. Dann ist $\varphi$ orthonormal nillinear.

Beweis: Es bewahrt $\varphi$ das Skalarprodukt von Elementen; dies folgt aus

$2\langle x,y\rangle =\|x-y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}$.

Nun können wir aber Orthonormalerzeuger $(e_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ von $H$ wählen. Die $\varphi$ von $e_{\lambda }$ bilden dann zumindest ein Orthonormalsystem gegeben durch $\varphi (e_{\lambda })$. Es sei $x\in H$ gegeben durch

$x=\sum _{\lambda \in \Lambda }\alpha _{\lambda }e_{\lambda }$.

Dann ist

$\varphi (x)=\sum _{\lambda \in \Lambda }\beta _{\lambda }\varphi (e_{\lambda })+r$, wobei $r\bot {\overline {\operatorname {span} \{\varphi (e_{\lambda })|\lambda \in \Lambda \}}}$.

Da $\varphi$ das Skalarprodukt erhält, gilt für jedes $\lambda _{0}\in \Lambda$

$\alpha _{\lambda _{0}}=\langle e_{\lambda _{0}},x\rangle =\langle \varphi (e_{\lambda _{0}}),\varphi (x)\rangle =\beta _{\lambda _{0}}$,

und da $\varphi$ die Größe erhält, gilt $r=0$. Aus der Gestalt von $\varphi$, die wir eben bewiesen haben, folgt nun die Behauptung. $\Box$