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Mathematik für Faule: Maßtheorie/ Konvergenzsätze

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Satz (Satz von der monotonen Konvergenz, Beppo Levi):

Es sei ein Maßraum und eine Folge von nichtnegativen, messbarrücksendenden Zuordnungen , die jenseits einer Nullmenge punktweise monoton wachsend gegen eine Zuordnung konvergiert. Dann gilt

.

Beweis: Man wähle eine beliebige nicht-negative Indikatorkombination , welche kleiner oder gleich ist. Wegen der monotonen Konvergenz von ist die messbare Mengenfolge

eine Ausschöpfung der Menge

.

Da das Integral von beliebig nahe an dem von gewählt werden kann, folgt die Behauptung aus der Limestreue von Maßen.

Satz (Fatou):

Es sei ein Maßraum und eine Folge von nichtnegativen, messbarrücksendenden Zuordnungen . Dann gilt

.

Beweis: Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt für jedes und

.

Andererseits ist die Folge

nicht-negativ und streng monoton wachsend, sodass die Behauptung aus dem Satz von Beppo Levi folgt.