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Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Monische Erweiterungen

Aus Wikibooks

Definition (monisches Element):

Es sei eine Erweiterung von Arithmoiden. Ein Element heißt monisch genau dann, wenn es eine monische Polynomgleichung mit Koeffizienten in , d. h. also der Leitkoeffizent ist , erfüllt; etwa

mit .

Definition (Monische Erweiterung):

Eine Erweiterung von Arithmoiden heißt monisch genau dann, wenn jedes Element aus bezüglich monisch ist.

Satz (Für die Arithmoide einer monischen Erweiterung ist das Divoid-sein äquivalent):

Es sei eine monische Erweiterung. Dann ist ein Divoid genau dann, wenn ein Divoid ist.

Beweis: Sei zunächst ein Divoid, und sei . Dann erfüllt nach Definition (und zwei Umformungen) eine Gleichung

.

Da ein Divoid ist, hat ein Inverses, und somit können wir das Inverse von gleich ablesen. Sei nun ein Divoid, und sei . Dann gibt es zumindest ein Inverses in , von dem wir nur noch zeigen müssen, dass es in liegt. In der Tat erfüllt als Element von eine Gleichung

mit , und durch Multiplikation mit ersehen wir, dass .

Definition (Monische Vollständigkeit):

Ein nullteilerfreies Arithmoid heißt monisch vollständig, wenn alle Elemente von , welche monisch bzgl. sind, bereits in enthalten sind.

Beispiel (Ein Arithmoid mit größten gemeinsamen Teilern ist monisch vollständig):

Es sei ein Arithmoid mit größten gemeinsamen Teilern. Dann ist monisch vollständig.

Beweis: Es sei monisch über . Da größte gemeinsame Teiler hat, können wir annehmen, dass der Bruch gekürzt ist. Dann ist auch gekürzt, denn

gilt in jedem Arithmoid mit größten gemeinsamen Teilern. Nun gilt aber eine Gleichung der Form

,

woraus folgt, dass der Bruch doch nicht gekürzt war.

Satz (Endlichkeitskriterium für Monizität):

Es sei eine Arithmoiderweiterung, und . Dann ist monisch über genau dann, wenn das Arithmoid als Linearitätsraum bzgl. endlich erzeugt ist.

Beweis: Falls über monisch ist, so impliziert die gegebene Polynomgleichung sofort, dass ein Erzeugendensystem für über ist, wobei der Grad der Polynomgleichung ist.

Umgekehrt sei endlich erzeugt. Die Zuordnung

ist ein Pfeil von Linearitätsräumen über , und nach dem Satz von Cayley—Hamilton erfüllt diese Zuordnung eine charakteristische Gleichung, deren Leitkoeffizient nach Definition der Determinante natürlich eine Potenz von ist.

Satz (Die monischen Elemente bezüglich eines Arithmoids bilden selbst ein Arithmoid):

Es sei ein Arithmoid, und es sei ein Divoid, sodass eine Arithmoiderweiterung ist. Es sei die Menge aller Elemente aus , welche über monisch sind. Dann ist ein Arithmoid.

Beweis: Es seien und als Linearitätsräume bzgl. endlich erzeugt. Dann ist es auch , denn falls und jeweils Erzeugendenmengen für bzw. sind, so sieht man anhand der Darstellung der Elemente von als Summen von Monomen, dass die Vereinigung der beiden Mengen, zusammen mit Produkten der Form , eine Erzeugendenmenge für darstellt. Aber enthält und (und additive Inverse sowieso).

Satz (Charakterisierung monischer Elemente in Divoiderweiterungen):

Es sei ein monisch vollständiges Arithmoid, und es sei . Des weiteren sei eine Divoiderweiterung von . Ein Element ist genau dann monisch über , wenn sowohl algebraisch ist als auch sein normiertes Minimalpolynom ein Polynom mit Koeffizienten in ist.

Beweis: Wenn algebraisch über ist und das normierte Minimalpolynom Koeffizienten in hat, so ist schon nach Definition monisch über .

Sei umgekehrt monisch über . Dann ist sicherlich algebraisch über . Es sei das Minimalpolynom von . Nach einem wohlbekannten Existenzsatz über Divoiderweiterungen zerfällt in einem Erweiterungsdivoid von in Linearfaktoren. In diesem Divoid gibt es dann -Dipfeile, die durch bestimmt sind, wobei irgendeine andere Nullstelle von ist. Diese fixieren dann natürlich die monische Polynomgleichung, welche von erfüllt wird, sodass alle anderen Nullstellen von ebenfalls monisch über sind.

Die Koeffizienten des Polynoms sind aber nichts weiter als die symmetrischen Polynome der Nullstellen von , und diese sind also monisch über , da die monischen Elemente einen Ring bilden. Sie sind aber auch in enthalten, und da monisch abgeschlossen ist, sind sie folglich auch in enthalten, was zu beweisen war.

Satz (Erster Hilbertscher Schnittidealsatz):

Es sei eine monische Arithmoiderweiterung, und es sei ein Primideal. Dann gibt es ein Primideal mit (d. h. die Schnittmenge von mit ist ).

Beweis: Zuerst bemerken wir, dass es genügt, den Fall zu betrachten, dass ein lokales Arithmoid ist. Dies gilt, da im allgemeinen Falle sowohl bei als auch bei mit der multiplikativen Menge eine Brucheinführung durchgeführt werden kann, und ist dann lokal, und der Korrespondenzsatz für die Brucheinführung beweist dann den Satz im allgemeinen Fall.

Dann sei also nun lokal mit maximalem Ideal . Dann ist ein Ideal von , denn falls , so ist , weshalb bereits , wobei ein Arithmoid ist, welches bzgl. von endlich vielen Elementen erzeugt wird und deshalb nach dem Endlichkeitskriterium für Monizität ein endlich erzeugter Linearitätsraum bzgl. ist. Daher gibt es nach dem Satz von Nakayama ein Element mit und , was nicht sein kann, weil und .

Daher können wir einfach ein maximales Ideal wählen, welches enthält; enthält dann , aber offensichtlich nicht die , sodass , da ein maximales Ideal ist.

Satz (Zweiter Hilbertscher Schnittidealsatz):

Es sei eine monische Arithmoiderweiterung, und ein Primideal. Es seien Primideale mit . Wenn , dann kann weder noch sein.

Beweis: Erneut ermöglicht der Korrespondenzsatz für die Brucheinführung die Beschränkung aller Betrachtungen auf den Fall eines lokalen Arithmoids und eines maximalen Ideals. Dann ist aber ebenfalls eine monische Erweiterung (man kann die von induzierte Gleichung schlicht modulo nehmen), und daher ist ein Divoid, also maximal, was den Satz beweist.

Satz (Hilbert–Krullscher Schnittidealsatz):

Es sei ein Arithmoid, und eine zerfällende polynomielle Divoiderweiterung über . Des weiteren sei die monische Vervollständigung von in . Es sei ein Primideal und seien Primideale mit . Dann gibt es einen -Selbstdipfeil mit .

Beweis: Wir setzen . Dann ist rein inseparabel, und das eindeutige Primideal in der monischen Vervollständigung , wessen Schnittmenge mit gleich ist, ist gegeben durch

.

Daher können wir, indem wir durch ersetzen, davon ausgehen, dass eine Galoiserweiterung ist.

Zuerst betrachten wir den Fall, dass endlichdimensional ist. Wir beweisen zunächst, dass

ist. Sei also . Dann ist, weil Galois ist,

als Fixelement des gesamten Galoisinvoids, und da prim ist, ist für ein gewisses .

Jetzt ist aber der Primideal-Vermeidungssatz anwendbar, der hier besagt, dass für ein gewisses . Wegen des Zweiten Hilbertschen Schnittidealsatzes folgt , was den endlichdimensionalen Fall abhandelt.

Nun zum allgemeinen Fall. Es sei ein Zwischendivoid von , welches bzgl. endlichdimensional ist. Dann ist die Menge

nichtleer (wegen des bereits bewiesenen endlichdimensionalen Falls) und bezüglich der Krulltoposmenge abgeschlossen. Die Menge aller solchen besitzt die endliche Schnittmengeneigenschaft, da man den endlichdimensionalen Fall dieses Satzes auf das Konjunktdivoid endlich vieler s anwenden kann. Daher ist wegen der Kompaktheit der Krulltoposmenge auch die Schnittmenge aller 's (wobei ein beliebiges endlichdimensionales Zwischendivoid wie oben ist) nichtleer, was zu beweisen war.