Mathematik für Faule: Topologie/ Ü-Endlichkeit

Satz (Folgen mit Limes sind ü-endlich):

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ darin eine konvergente Folge mit Limes $x$. Dann ist die Menge

$K:=\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\cup \{x\}$

ü-endlich.

Beweis: Es sei $(U_{i})$ eine beliebige randlose Überdeckung von $K$. Dann ist $x$ in einem $U_{i_{0}}$ enthalten, und wegen der Konvergenz sind alle bis auf endlich viele Folgenglieder ebenfalls in $U_{i_{0}}$. Für die endlich vielen anderen Folgenglieder können wir jeweils eine andere Menge aus $(U_{i})$ wählen. $\Box$

Satz (Konvergente Teilfolge im Urbild ü-endlicherhaltender Abhängiger):

Es sei $f:X\to Y$ eine ü-endlicherhaltende Abhängige zwischen topologischen Räumen. Es sei $y_{n}\to y$ eine konvergente Folge in $Y$, und $(x_{n})$ Punkte in $X$ mit $f(x_{n})=y_{n}$. Dann hat $(x_{n})$ eine konvergente Teilfolge.

Beweis: Da $f$ ü-endlicherhaltend und $K:=\{y_{n}|n\in \mathbb {N} \}\cup \{x\}$ ü-endlich ist, ist auch $f^{-1}(K)$ ü-endlich. $(x_{n})$ ist aber eine Folge in gerade letzterer Menge. $\Box$