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Mathematik für Faule: Wahrscheinlichkeitstheorie/ Unabhängigkeit

Aus Wikibooks

Definition (Unabhängigkeit von zwei Ereignissen):

Zwei Ereignisse heißen unabhängig voneinander genau dann, wenn gilt.

Satz (Komplemente sind unabhängig):

Es seien unabhängig. Dann sind auch und unabhängig (und somit nach Änderung der Belegung auch und ).

Beweis: .

Definition (Unabhängigkeit von mehreren Ereignissen):

Es seien Ereignisse. Diese heißen unabhängig genau dann, wenn für jedes das Ereignis von allen Ereignissen in unabhängig ist.

Satz (Standardkriterium für die Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse):

Ereignisse sind unabhängig voneinander genau dann, wenn für alle endlichen Folgen die Gleichung

erfüllt ist.

Beweis: Sei zunächst das Standardkriterium erfüllt. Da Komplemente ebenfalls unabhängig sind, erhalten wir Gleichungen der Art

,

wobei jedes beliebig ein c haben kann, oder nicht. Wenn wir jetzt wählen, dann sehen wir so, dass wir genaue Formeln für die Wahrscheinlichkeiten aller Mengen in haben, denn diese Ereignismenge besteht ja ausschließlich aus disjunkten Vereinigungen von Mengen der Art

(wieder mit beliebig verteilten c).

Somit folgt die gewünschte Unabhängigkeitseigenschaft aus der Distributivität der normalen Multiplikation.

Die andere Richtung ist durch iterative Deduktion leicht nachzuweisen.