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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Relation und Abbildung

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Wir wollen für die Erläuterung der Relation noch einmal auf das kartesische Produkt A × B = {(a; b)| a ∈ A und b ∈ B} zurückgreifen. Es wird hier jedes Element einer Menge A paarweise mit jedem Element einer Menge B verknüpft.

Ein spezielles kartesisches Produkt ist A × A, das Produkt von A mit sich selber. Man schreibt hier auch A × A = A2, A × A × A = A3, ... A1 × A2 × A3 × … × An = An, wenn alle Ai gleich sind.

Ein Beispiel ist etwa R × R = R2, das kartesische Produkt der reellen Zahlen, was grafisch die gesamte (unendlich große) Fläche des kartesischen Koordinatensystems bedeckt.


Relation

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Die Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts, wobei die Teilmenge beliebig sein kann.

Beispiel 1 aus dem Kapitel Mengen:

A = {0, 1, 8}, B = {0, x} mit dem kartesischen Produkt A × B = {(0,0), (0,x), (1,0), (1,x), (8,0), (8,x)}.

Eine Relation wäre nun beispielsweise R = {(0,0), (1,x), (8,0), (8,x)}. Man sieht, dass R ⊂ A × B ist.

Beispiel 2:

Gegeben sind die Mengen A={1, 2, 3, 4} und B=A.

Das kartesische Produkt ist A × B =

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)
 (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)
 (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)
 (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}

Die Relation mit der Beschreibung R={(a,b)| (a,b) ∈ A × B und a=b} ergibt R={(a,b)| (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}.


Abbildung

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Ein Spezialfall der Relation R ⊂ A × B ist die Abbildung oder auch Funktion. Sie ist folgendermaßen charakterisiert:

Eine Abbildung oder Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Relation f, welche folgende Eigenschaften hat:

  • f ist eine Teilmenge von A × B.
  • f ordnet jedem Element von A genau ein Element von B zu. f ist die Zuordnungsvorschrift.

Für f ⊂ A × B schreibt man f: A → B. Statt (a,b) ∈ f schreibt man f: a ↦ f(a) = b.

Wir nennen A Definitionsbereich von f und B zunächst allgemein die Zielmenge. Ein Element b=f(a) wird Bild genannt, das dazuhörige a Urbild von b. Die Menge aller Bilder ist der Wertebereich von f.

Der Begriff Abbildung und Funktion ist synonym. Häufig liest man, dass der Begriff Funktion speziell für die Abbildung f: RR verwendet wird. Das ist streng genommen unzutreffend.

Abbildungsarten

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Eine Abbildung ist

  • injektiv, wenn jedes Element des Zielbereichs höchstens ein Urbild hat.
Abbildung ist injektiv
  • surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat.
Abbildung ist surjektiv
  • bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.
Abbildung ist bijektiv


Zusammengesetzte Abbildungen

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auch Komposition oder verkettete Abbildungen genannt.

Die Abbildungen f: A → B und g: B → C, jeweils mit Elementen a, b und c, können miteinander verkettet werden. Man erhält dann die Abbildung g(f(a)), die auch als (g o f)(a) bezeichnet und als "g nach f" ausgesprochen wird.

In der Notation der Relation erhält man

.
Komposition mit den Mengen X, Y, Z

Beispiel

Gegeben sind die Funktionen f: R → R; x ↦ x+1 und g: R → R+0; x ↦ x2.

Die Komposition von f und g ergibt die Funktion h mit

.

Bei der Komposition muss überprüft werden, ob die jeweiligen Mengen zusammenstimmen, d.h. ob das obengenannte b existiert. Eine Verkettung ist möglich, wenn der Wertebereich von f eine Teilmenge des des Definitionsbereichs von g ist:

.

Man beachte: Die Komposition ist nicht kommutativ, es ist also im allgemeinen g o f ≠ f o g.

Umkehrabbildung

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auch inverse Funktion, Umkehrfunktion genannt.

Gehen wir von einer Abbildung f: A → B aus, wird bei der Umkehrabbildung die Richtung des Abbildungspfeils umgedreht. Man erhält dann

.

Eine Umkehrabbildung existiert nur, wenn die Abbildung bijektiv ist.


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