Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.13 Zufallsvariable

Erarbeitung

Aufgabe 1: In einer Urne sind 3 Kugeln: 1 blaue, 1 gelbe und 1 violett. Für 5€ nimmt jemand teil und darf drei Mal ohne Zurücklegen ziehen. Ist die erste gezogene Kugel gelb, bekommt man 20€ ausbezahlt; ist die zweite Kugel gelb10 €; ist erst die dritte Kugel gelb geht man leer aus.

1. Bestimmen Sie die Möglichkeiten für dieses Zufallsexperiment.
2. Stellen Sie die Möglichkeiten, die Anzahl an Würfen und den Gewinn in einer Tabelle dar.

Lösung

Wir sehen: wir können jedem Event die Anzahl an gezogenen Kugeln zuordnen. Dies ist eine eindeutige Zuordnung, sodass wir eine Funktion erzeugen können über: $X:{\text{Ereignis}}\mapsto {\text{Anzahl an gezogenen Kugeln}}$

Aufgabe 2: Bestimme den Funktionswert von:

1. X(g)
2. X(vg)

Lösung

Aufgabe 3: Beim Sommerfest der Schule kann man einen Stein werfen, der drei verschiedene Seiten hat: Seite (8%), Boden (36%) und Kopf (56%). Für 5€ dürfen Teilnehmende maximal vier Mal würfeln. Würfelt man beim ersten Mal bereits „Seite“, bekommt man 30€ ausbezahlt, erst beim zweiten Mal 20€, erst beim dritten Mal 10€ und erst beim vierten Mal dann 5€. Würfelt man kein einziges Mal „Seite“, geht man leer aus.

1. Bestimmen Sie die Möglichkeiten für dieses Zufallsexperiment.
2. Stellen Sie die Möglichkeiten, die Anzahl an Würfen und den Gewinn in einer Tabelle dar.
3. Erstellen Sie eine Funktion X wie oben und bestimmen Sie die Funktionswerte von X(bs), X(bks), X(kbkk), X(kks).

Lösung

Hefteintrag

Definition

Zufallsvariable
Unter einer Zufallsvariablen X eines Zufallsexperiments versteht man eine Funktion, die jedem Ergebnis ei des Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet. $X:e_{i}\mapsto X(e_{i})$

Beispiel: Bei einer Qualitätskontrolle von Murmeln werden drei Murmeln untersucht, ob die Farbe korrekt (k) oder falsch (f) ist. Gezählt wird die Anzahl an falsch gefärbten Murmeln.

Möglichkeiten:

• kkk -> 0
• kkf -> 1
• kfk -> 1
• kff -> 2
• fkk -> 1
• fkf -> 2
• ffk -> 2
• fff -> 3

Dadurch gilt bspw.

• $X(kkf)=1$
• $X(fkk)=1$
• $X(fff)=3$

Lösungen zur Erarbeitug

Aufgabe 1

Möglichkeiten	g	bg	vg	bvg	vbg
Ziehungen	1	2	2	3	3
Gewinn	20€ - 5€ = 15€	10€ - 5€ = 5€	10€ - 5€ = 5€	-5€	-5€

Aufgabe 2

1. X(g) = 1
2. X(vg) = 2