Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.1 Zufallsexperimente

8.1 Zufallsexperimente

(a) Einstufige Zufallsexperimente

Die Ziehung im Lotto, das Werfen einer Münze, das nächste auftretende Monster in einem Computerspiel: Das Ergebnis dieser Dinge sind zufällig und können nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden - solange man nicht betrügt. In der Mathematik bezeichnet man dies als Zufallsexperiment, solange es bestimmte Eigenschaften hat.

Definition

Ein Zufallsexperiment hat folgende Eigenschaften:
Die Durchführung ist genau festgelegt. Es ist unter gleichen Bedingungen beliebig oft durchführbar. Es gibt mindestens zwei verschiedene Ergebnisse. Ergebnisse sind nicht sicher vorhersagbar.

Beispiel 1

Eine Person, die aktuell zum Friseur geht ist entweder gegen Corona geimpft, negativ getestet oder von Corona genesen. Dieses Experiment kann für jede Person neu durchgeführt werden und es kann nur eines der drei Ergebnisse eintreten. Nimmt man eine beliebige Person aus der Bevölkerung raus, die gerade zum Friseur geht, kann man vorher nicht mit Sicherheit sagen, welche der drei Fälle auf die Person zutreffen - es sei denn, man kennt die Person.

Das Beispiel lässt sich in einem Baumdiagramm veranschaulichen. Siehe Bild 1 rechts.

Mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden in der Ergebnismenge E aufgelistet.

Beispiel:

1. Person beim Friseur: E={negativ getestet, geimpft, genesen}
2. Münzwurf: E={Kopf, Zahl}
3. Würfelwurf: E={1; 2; 3; 4; 5; 6}
4. Karten ziehen: E={Karo 7, Karo 8, Karo 9,..., Kreuz Ass}

(b) ehrstufige Zufallsexperimente

Wird ein Zufallsexperiment mehrmals nacheinander durchgeführt, so ergibt sich ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Ergebnisse davon sind sogenannte Tupel von Einzelergebnissen, geschrieben in runden Klammern. Das Baumdiagramm ist dann mehrstufig und unter Umständen verzweigt.

Beispiel 2

Ziehen von zwei Kugeln aus einer Urne mit zwei roten und einer schwarzen Kugel. Hier das zugehörige Baumdiagramm. In Klammern jeweils, wie viele Kugeln von welcher Farbe am Ast übrig sind.

Als Ergebnismenge ergibt sich E={ (r,r), (r,s), (s,r) }.

Beachte
Tupel werden immer in runden Klammern geschrieben. Darin meist durch Komma oder Strichpunkt getrennt die Elemente. Bei den Tupeln ist die Reihenfolge wichtig. Es macht einen Unterschied, ob man zuerst rot und dann schwarz oder umgekehrt zieht.

In diesem Beispiel wurden die Kugeln nicht zurückgelegt. Man kann diese nach jedem Ziehen auch zurücklegen. Ebenso macht es einen Unterschied, ob man sich für die Reihenfolge interessiert oder nicht. Ein paar Beispiele dazu:

...	Ohne Reihenfolge	Mit Reihenfolge
Ohne Zurücklegen	Lotto, Kartenziehen bei einem Kartenspiel, blindes Greifen in eine Tüte mit verschiedenen Gummibärchen	Wählen der Mannschaft in Sport aus der Klasse
Mit Zurücklegen	Zweimaliger Würfelwurf, aus dessen Ergebnis die Augensumme gebildet wird	Zweimaliger Würfelwurf, aus dessen Ergebnis eine zweistellige Zahl gebildet wird Festlegen eines PIN

Beim Würfelwurf ist das "Zurücklegen" vielleicht erst mal ein komischer Begriff, da man ja die Zahlen nicht wegnehmen oder wieder auf den Würfel zurücklegen kann. Es stimmt aber vom Konzept her überein.

Übung 8.1

Erstelle ein Baumdiagramm und die Ergebnismenge für:

1. Zweimaliger Würfelwurf, aus dessen Ergebnis eine zweistellige Zahl gebildet wird.
2. Ziehen von 3 Gummibärchen aus einer Packung mit roten, blauen und grünen Gummibärchen.
3. Zweimaliger Würfelwurf, aus dessen Ergebnis die Augensumme gebildet wird.