Mathematikunterricht/ Sek/BKI/2.7 Winkel einer Geraden

Einführung

Der Winkel einer Geraden wird üblicherweise definiert als Winkel zwischen er x-Achse und der Geraden im mathematisch positiven Sinn (also gegen den Uhrzeigersinn). Holen wir uns mal eine Gerade her, so sehen wir schnell, wie wir den Winkel berechnen können:

Wir im Kapitel über Trigonometrie gelernt, können wir uns hier mit Sinus, Kosinus und Tangens austoben.

1. Aus der Steigung m können wir das Verhältnis Δy zu Δx auslesen.
2. Die beiden Seiten Δy und Δx sind hier Gegenkathete bzw. Ankathete zum Winkel α.
3. Das bedeutet, wir verwenden den Tangens:

$\tan(\alpha )={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=m\quad |\tan ^{-1}$

Information

Für den Winkel einer linearen Funktion gilt: $\alpha =\tan ^{-1}(m)$

Merke: Achten Sie darauf, dass der Taschenrechner auf Grad / deg / degree eingestellt ist.

Wir betrachten die Funktion $f(x)=-2x+1$.

$\alpha =tan^{-1}(-2)\approx -63,43^{\circ }$

Da die Steigung negativ ist, fällt die Funktion, sodass der Winkel negativ durchaus Sinn ergibt. In der Mathematik gibt man aber selten negative Winkel an, weswegen man die -63,43° noch umrechnet durch addieren von 360° - man geht also ein mal um den Kreis herum in positive Richtung.

$\alpha =tan^{-1}(-2)\approx -63,43^{\circ }{\overset {+360^{\circ }}{=}}296,57^{\circ }$

Wir können das mal testweise zurückrechnen, also die Steigung aus dem Winkel erechnen:

$\alpha =296,57^{\circ }$

$\Rightarrow \tan(\alpha )=\tan(296,57^{\circ })\approx -1,999568208\approx -2$

Mit Runden klappt es also auch so rum. Zu einer fertigen Funktion würde uns jetzt natürlich noch ein Punkt oder ein y-Achsenabschnitt fehlen.

Übungen

Aufgabe 1: Berechnen Sie den Winkel der linearen Funktionen. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

1. $f(x)=2x-1$
2. $f(x)={\frac {1}{2}}x-2$
3. $f(x)=-4x+1$
4. $f(x)=-{\frac {3}{2}}x-3,25$

Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Steigung der linearen Funktion f, deren Winkel α Sie gegeben haben. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

1. $\alpha =74,05^{\circ }$
2. $\alpha =323,13^{\circ }$
3. $\alpha =276,34^{\circ }$
4. $\alpha =56,31^{\circ }$

Aufgabe 3: Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion f mit dem Winkel α = 45° durch den Punkt A (-2|1).

Lösungen

Aufgabe 1:

1. $\alpha =63,43^{\circ }$
2. $\alpha =26,57^{\circ }$
3. $\alpha =-75,96^{\circ }{\overset {+360^{\circ }}{=}}284,04^{\circ }$
4. $\alpha =-56,31^{\circ }{\overset {+360^{\circ }}{=}}303,69^{\circ }$

Aufgabe 2:

1. $m=3,5$
2. $m=-0,75$
3. $m=-9$
4. $m=1,5$

Aufgabe 3:

1. Steigung berechnen: $m=\tan(\alpha )=\tan(45)=1$
2. Funktionsterm ohne t: $f(x)=1\cdot x+t$
3. Punkt A einsetzen: $1=1\cdot (-2)+t\quad |+2$
4. Auflösen nach t: $t=3$
5. Funktionsterm notieren: $f(x)=1\cdot x+3$