Hilfreich für das Kapitel

Gleichungssysteme in einer und zwei Variablen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Polynomgleichungen lösen
Potenzen - Definition und Potenzgesetze

Problemstellung

Der Logarithmus

Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form $a^{x}=b$ bzw. Gleichungen, in denen eine gesuchte Variable (bspw. x) im Exponenten vorkommt. Aufgabe ist es nun, an die gesuchte Variable zu kommen.

Schauen wir uns einfache Gleichungen wie $3^{x}=27$ an, so können wir leicht durch Ausprobieren oder Raten herausfinden: $x=3$ .

Bei anderen Gleichungen geht das nicht so einfach, bspw. $3^{x}=20$ . Die Lösung ist zwischen 2 und 3 zu finden. Wer sich an die Intervallschachtelung bei quadratischen Gleichungen erinnert, der kann das gerne mal ausprobieren. Spoiler: es macht keinen Spaß!

Aber es gibt eine Möglichkeit, mit Hilfe des Taschenrechners das einfach auszurechnen: Der Logarithmus!

Mathematisch gesehen ist der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren, genauso wie Wurzel-Ziehen die Umkehroperation zum Quadrieren ist.

Es gilt also:

Merke: $a^{x}=b$ genau dann wenn $x=log_{a}(b)$ .

Dabei nennt man a die Basis und b das Argument. Gesprochen: "Der Logarithmus von b zur Basis a ergibt..."

Wichtig: Falls es bei euch nicht die Möglichkeit für diesen Log mit einer anderen Basis gibt, dann hilft euch folgender Trick:

Merke: $log_{a}(b)={\frac {log(b)}{log(a)}}$

Probiert das gerne mit dem Taschenrechner aus.

Wir rechnen ein paar Beispiele:

$(a){\begin{aligned}4^{x}&=20\\\Rightarrow x&=\log _{4}(20)\approx 2,16\end{aligned}}$

$(b){\begin{aligned}51^{x}&=200\\\Rightarrow x&=\log _{51}(200)\approx 1,34\end{aligned}}$

Zum Üben hier ein paar weitere Gleichungen mit den Ergebnissen.

$0,5^{x}=2$
$2^{x}=0,5$
$3,141^{x}=5$
$(-2)^{x}=4$

Lösungen:

$x=log_{0,5}(2)=-1$
$x=log_{2}(0,5)=-1$
$x=log_{3,141}(5)\approx 1,406$
Hier gibt es einen Fehler.

Merke: Der Logarithmus ist für negative Basen nicht definiert. Auch das Argument darf nicht negativ sein.

Trotzdem findet man manchmal eine Lösung, wie bspw. bei $(-2)^{x}=4$ , nämlich $x=2$ .

Merke: Besondere Logarithmen:

Beim Logarithmus zur Basis 10 wird oft die Basis weggelassen, also meint: $log_{10}(b)=log(b)$
Logarithmus zur Basis e wird auch als der natürliche Logarithmus bezeichnet: $log_{e}(b)=ln(b)$

Der natürliche Logarithmus

Was man häufig nur braucht, ist der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e. Die Eulersche Zahl e ist ungefähr $e\approx 2,718$ .

Für sie gibt es den Logarithmus ln bei vielen Taschenrechnern direkt. Es gilt

Merke: $log_{e}(b)=ln(b)$

Die Regeln sind aber immer noch die gleichen:

${\begin{aligned}e^{x}&=5\\\Rightarrow x&=ln(5)\end{aligned}}$

Berechne den Exponenten x, der folgende Gleichungen löst:

$e^{x}=4$
$e^{x}=2$
$e^{x}=0,5$

Auch der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert.

Direktes Auflösen und Logarithmieren

Link zum Erklärvideo auf Video-Cave-v2

Schauen wir uns die Gleichung $e^{x}-5=-2$ , dann können wir diese vergleichen mit der quadratischen Gleichung $x^{2}-5=-2$ . Die Lösung davon kennen wir:

${\begin{aligned}x^{2}-5&=-2&|+5\\x^{2}&=3&|{\sqrt {}}\\\Rightarrow x_{1}&=-1,71\\x_{2}&=+1,71\\\end{aligned}}$

Gleiches kann man bei Exponentialgleichungen machen, in denen nur ein $a^{bx}$ vorkommt. Anstatt die Wurzel zu ziehen müssen wir hierbei den Logarithmus von oben verwenden.

${\begin{aligned}e^{x}-5&=-2&|+5\\e^{x}&=3&|\ln()\\x&=\ln(3)\\&\approx 1,10\end{aligned}}$

Merke: Auflösen von Exponentialgleichungen mit nur einem Typ $a^{bx}$ :

Auflösen, sodass $a^{bx}$ auf einer Seite alleine steht.
Logarithmieren mit der Basis a.

Beispiele

${\begin{aligned}2^{x}-1&=4&|+1\\2^{x}&=5&|log_{2}\\x&=log_{2}(5)\approx 2,32\end{aligned}}$

${\begin{aligned}2\cdot e^{x}&=20&|:2\\e^{x}&=10&|ln\\x&=ln(10)\approx 2,30\end{aligned}}$

${\begin{aligned}3^{2x}+5&=15&|-5\\3^{2x}&=10&|log_{3}\\2x&=log_{3}(10)&|:2\\x&={\frac {log_{3}(10)}{2}}\approx {\frac {2,10}{2}}=1,05\end{aligned}}$

${\begin{aligned}-e^{{\frac {1}{2}}x}-7&=-9&|+7\\-e^{{\frac {1}{2}}x}&=-2&|\cdot (-1)\\e^{{\frac {1}{2}}x}&=2&|ln\\{\frac {1}{2}}x&=ln(2)&|\cdot 2\\x&=2\cdot ln(2)\approx 2\cdot 0,69=1,38\end{aligned}}$

${\begin{aligned}3\cdot e^{x}+5&=0&|-5\\3\cdot e^{x}&=-5&|:3\\e^{x}&=-{\frac {5}{3}}&|ln\\x&=ln\left(-{\frac {5}{3}}\right)\\\end{aligned}}$
Keine Lösung, da das Argument im Logarithmus negativ!

Übungen

Selbstständig geübt werden kann mit den folgenden Gleichungen:

$5^{x}-9=-2$
$e^{3x}-2=-1,5$
$2+e^{x}=1-e^{x}$
$e^{-x}+1=3$

Die Ergebnisse: 1,21; -0,23; keine Lösung; -0,69

Ausklammern und Satz vom Nullprodukt

Hilfreich hierfür sind Potenzgesetze sowie die Methode für Polynomgleichungen - siehe das entsprechende Video und die Wikibooks-Artikel:

Potenzgesetze
Potenzrechnung
Video: Ausklammern bei Polynomgleichungen

Wir schauen uns zunächst eine Polynomgleichung an, nämlich

$x^{2}-x=0$

Diese lösen wir schnell, indem wir x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.

${\begin{aligned}x^{2}-x&=0\\x\cdot (x-1)&=0\\=>x_{1}&=0\\=>x-1&=0\\=>x_{2}&=1\end{aligned}}$

Das Konzept können wir jetzt übertragen auf Exponentialgleichungen der Form:

$(e^{x})^{2}-e^{x}=0$

Wenn wir hier $e^{x}$ ausklammern, ergibt das:

$e^{x}*(e^{x}-1)=0$

Da $e^{x}$ niemals 0 wird, können wir diesen Teil ignorieren und schauen uns den Rest an:

${\begin{aligned}e^{x}-1&=0&|+1\\e^{x}&=1&|ln\\x&=ln(1)=0\end{aligned}}$

Wichtig hierfür: Multiplizieren wir Potenzen mit gleicher Basis, so können wir die Exponenten einfach addieren.

$a^{x}\cdot a^{x}=a^{x+x}=a^{2x}$
$a^{x}\cdot a^{x}\cdot a^{x}=a^{x+x+x}=a^{3x}$
$a^{x}\cdot a^{2x}=a^{x+2x}=a^{3x}$
$a^{2x}\cdot a^{3x}=a^{2x+3x}=a^{5x}$

Merke: Damit lassen sich Exponentialgleichungen lösen, bei denen jeder Summand ein $a^{bx}$ enthält (abgesehen von 0).

Ausklammern von $a^{bx}$ , sodass b den größten Wert hat.
Den ausgeklammerten Teil ignorieren wir, da er niemals 0 wird.
Wir lösen die restliche Gleichung.

Beispiele

${\begin{aligned}1\cdot e^{x}-1\cdot e^{2x}&=0&|e^{x}ausklammern\\e^{x}\cdot (1-e^{x})&=0\\\Rightarrow e^{x}&\neq 0\\\Rightarrow 1-e^{x}&=0&|-1\\-e^{x}&=-1&|\cdot (-1)\\e^{x}&=1&|ln\\x&=ln(1)=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}2\cdot e^{2x}-3\cdot e^{x}&=0&|e^{x}ausklammern\\e^{x}\cdot (2\cdot e^{x}-3)&=0\\\Rightarrow e^{x}&\neq 0\\\Rightarrow 2\cdot e^{x}-3&=0&|+3\\2\cdot e^{x}&=3&|:2\\e^{x}&={\frac {3}{2}}&|ln\\x&=ln\left({\frac {3}{2}}\right)\approx 0,41\end{aligned}}$

${\begin{aligned}-4\cdot e^{3x}+1\cdot e^{2x}&=0&|e^{2x}ausklammern\\e^{2x}\cdot (-4\cdot e^{1x}+1)&=0\\\Rightarrow e^{2x}&\neq 0\\\Rightarrow -4\cdot e^{1x}+1&=0&|-1\\-4\cdot e^{x}&=-1&|:(-4)\\e^{x}&={\frac {1}{4}}&|ln\\x&=ln\left({\frac {1}{4}}\right)\approx -1,39\end{aligned}}$
${\begin{aligned}1\cdot 2^{-x}-2\cdot 2^{-2x}&=0&|2^{-x}ausklammern\\2^{-x}\cdot (1-2\cdot 2^{-x})&=0\\\Rightarrow 2^{-x}&\neq 0\\\Rightarrow 1-2\cdot 2^{-x}&=0&|-1\\-2\cdot 2^{-x}&=-1&|:(-2)\\2^{-x}&={\frac {1}{2}}&|log_{2}\\-x&=log_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)&|\cdot (-1)\\x&=-log_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1\end{aligned}}$
${\begin{aligned}1\cdot e^{x}-x\cdot e^{x}&=0&|e^{x}ausklammern\\e^{x}\cdot (1-x)&=0\\\Rightarrow e^{x}&\neq 0\\\Rightarrow 1-x&=0&|-1\\-x&=-1&|\cdot (-1)\\x&=1\end{aligned}}$

Übungen

$-e^{3x}+2\cdot e^{x}=0$
$e^{2x}-5\cdot e^{4x}=0$
$x^{2}\cdot e^{x}-x\cdot e^{x}=0$
${\frac {1}{2}}\cdot e^{-x}-{\frac {1}{4}}\cdot e^{-4x}=0$

Ergebnisse (durchmischt): -0,73; 0,35; -0,23; 0 und 1

Substitutionsverfahren

Erinnerung: Gleichungen wie ${x}^{4}-2{x}^{2}+1=0$ konnten wir über Substitution lösen. Wenn wir nämlich statt ⁴ und ² dort ² und ¹ stehen hätten, wäre es eine quadratische Gleichung, die wir leicht lösen können:

${x}^{4}-2{x}^{2}+1=0$ → ${x}^{2}-2{x}^{1}+1=0$

Damit wir nicht durcheinander kommen, haben wir statt ${x}^{2}$ → ${z}^{2}$ und $x$ → $z$ geschrieben:

Substitution: ${x}^{4}-2{x}^{2}+1=0$ → ${z}^{2}-2{z}^{1}+1=0$

Wir haben also ${x}^{2}$ durch $z$ ersetzt, als Fachwort: substituiert. Die Gleichung können wir jetzt leicht lösen über binomische Formeln oder die abc-/pq-Formel:

${z}_{0}=1$

Das ist jetzt die Lösung für die Gleichung mit $z$ , uns interessiert aber die Gleichung mit ${x}^{2}$ . Deswegen machen wir die Ersetzung rückgängig, genannt Resubstitution:

Resubstitution: ${x}^{2}=1$ | ${\sqrt {~}}$

$\rightarrow {x}_{1/2}=\pm 1$

Das gleiche Verfahren können wir mit Gleichungen wie ${e}^{2x}-2\cdot {e}^{x}+1=0$ machen, indem wir ${e}^{x}$ durch z ersetzen:

Substitution: ${e}^{2x}-2\cdot {e}^{x}+1=0\;{\stackrel {{e}^{x}=z}{\Longrightarrow }}\;{z}^{2}-2\cdot z+1=0$

Die Lösung davon kennen wir bereits von oben: ${z}_{0}=1$ . Durch Resubstitution erhalten wir:

Resubstitution: ${e}^{x}=1$ | ln

$\rightarrow x=\ln \left(1\right)=0$

Merke: Gleichungen der Form $a\cdot {e}^{2\cdot p\cdot x}+b\cdot {e}^{p\cdot x}+c=0$ ( $p\neq 0$ ) löst man über Substitution:

Substitution: $z={e}^{p\cdot x}\Rightarrow a\cdot {z}^{2}+b\cdot z+c=0$
Auflösen der Gleichung nach z: ${z}_{1}=\dots$ und ${z}_{2}=\dots$
Resubstitution und Auflösen nach x: ${e}^{p\cdot x}={z}_{1}$ und ${e}^{p\cdot x}={z}_{2}$

Beispiele

${\begin{aligned}e^{2x}-4\cdot e^{x}+3&=0\\{\text{Substitution: }}z=e^{x}\Rightarrow z^{2}-4\cdot z+3&=0\\\Rightarrow z_{1}&=1\\z_{2}&=3\\{\text{Resubstitution: }}e^{x}&=z_{1}=1&|ln\\\Rightarrow x_{1}&=ln(1)=0\\e^{x}&=z_{2}=3&|ln\\\Rightarrow x_{2}&=ln(3)\approx 1,10\end{aligned}}$
${\begin{aligned}e^{4x}-5\cdot e^{\color {red}2x}+6&=0\\{\text{Subst.: }}z=e^{\color {red}2x}\Rightarrow z^{2}-5\cdot z+6&=0\\\Rightarrow z_{1}&=2\\z_{2}&=3\\{\text{Resubst.: }}e^{2x}&=2&|ln\\\Rightarrow 2\cdot x&=ln(2)&|:2\\\Rightarrow x_{1}&={\frac {ln(2)}{2}}\approx 0,35\\e^{2x}&=3&|ln\\\Rightarrow 2\cdot x&=ln(3)&|:2\\\Rightarrow x_{2}&={\frac {ln(3)}{2}}\approx 0,55\end{aligned}}$
${\begin{aligned}3^{2x}-{\color {red}3^{x}}-2&=0\\{\text{Subst.: }}z={\color {red}3^{x}}\Rightarrow z^{2}-1\cdot z-2&=0\\\Rightarrow z_{1}&=-1\\z_{2}&=2\\{\text{Resubst.: }}3^{x}&=-1&|log_{3}\\\Rightarrow x_{1}&=log_{3}(-1)\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\3^{x}&=2&|log_{3}\\\Rightarrow x_{0}&=log_{3}(2)\approx 0,63\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\cdot e^{2x}+3\cdot e^{x}+4&=0\\{\text{Subst.: }}z={\color {red}3^{x}}\Rightarrow {\frac {1}{2}}\cdot z^{2}+3\cdot z+4&=0\\\Rightarrow z_{1}&=-4\\z_{2}&=-2\\{\text{Resubst.: }}e^{x}&=-4\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\e^{x}&=-2\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\\Rightarrow &{\text{Keine Lösung!}}\end{aligned}}$
${\begin{aligned}e^{-2x}+2\cdot {\color {red}e^{-x}}&=8&|-8\\e^{-2x}+2\cdot {\color {red}e^{-x}}8&=0\\{\text{Subst.: }}z={\color {red}e^{-x}}\Rightarrow z^{2}+2\cdot z-8&=0\\\Rightarrow z_{1}&=-4\\z_{2}&=2\\{\text{Resubst.: }}e^{-x}&=-4\Rightarrow {\text{geht nicht}}\\e^{-x}&=2&|ln\\\Rightarrow -x&=ln(2)&|\cdot (-1)\\\Rightarrow x_{0}&=-ln(2)\approx -0,69\end{aligned}}$