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Wurzelrechnung ( Radizieren )

In der Potenzrechnung waren bisher Basis und Exponent bekannt, der Potenzwert sollte ausgerechnet werden. Beim Radizieren stellt sich allerdings die Frage, welche Zahl in die $n$-te Potenz gehoben werden muss, um z.B. die Zahl 9 zu erhalten. D.h., dass die Basis $b$ diesmal unbekannt ist.

Definition

Ist $b^{n}=a$, so ist $b$ gegeben durch
$b={\sqrt[{n}]{a}}$.
Man liest: $b$ ist die $n$-te Wurzel aus $a$. Hierbei bezeichnet man

• $b$ als Wurzel,
• $n$ als Wurzelexponent,
• $a$ als Radikand.
  

Ist $n$ eine gerade Zahl, so hat die Gleichung $b^{n}=a$ zwei Lösungen, nämlich $b_{1}={\sqrt[{n}]{a}}$ und $b_{2}=-{\sqrt[{n}]{a}}$.
Damit ${\sqrt[{n}]{a}}\in \mathbb {R}$ gilt (also ${\sqrt[{n}]{a}}$ ist eine reelle Zahl), muss $a$ für gerade $n$ größer oder gleich $0$ sein. Ist $n$ ungerade, so darf auch der Radikand $a$ negativ sein. Es gilt dann ${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}~{\mbox{Mit}}~n~{\mbox{ungerade}}$.

Beispiele

Gesucht sind die Zahlen, die mit sich selbst multipliziert 9 ergeben. 

Zuerst wird der Aufgabenstellung die wichtigen Informationen entnommen: die mit sich selbst multipliziert heißt, dass die gesuchten Zahlen quadriert (mit 2 potenziert) $9$ ergeben. Wenn wir also mit $x$ unsere gesuchte Zahl bezeichnen, so ergibt sich die Gleichung
$x^{2}=9$.
Damit ist auch bekannt, welche Wurzel gezogen werden muss (bzw. welcher Wurzelexponent gebraucht wird). Nämlich $2$. Da $2$ gerade ist, muss es auf die Aufgabenstellung zwei Lösungen geben; nämlich eine positive und eine negative. Wird nun die Wurzel gezogen, so ergibt sich:
$x_{1}={\sqrt[{2}]{9}}=3$ und $x_{2}=-{\sqrt[{2}]{9}}=-3$. Und auch die Probe ergibt, dass $3$ und $-3$ die Lösungen der obigen Gleichung sind, da $3^{2}=(-3)^{2}=9$.

Formales

Die einfachste Wurzel, die Quadratwurzel, wird wie folgt geschrieben:

${\sqrt {a}}$

und bedeutet eine Zahl, deren Quadrat gleich $a$ ist, also:

$({\sqrt {a}})^{2}=a.$

Weil ein Quadrat nicht negativ ist, kann man nur Quadratwurzeln aus nicht-negativen Zahlen ziehen.

Es gibt auch Wurzeln mit höheren Exponenten, z.B. mit Exponenten 3, Kubikwurzel oder dritte Wurzel genannt:

${\sqrt[{3}]{a}}$

mit der Bedeutung:

$({\sqrt[{3}]{a}})^{3}=a.$

${\sqrt[{3}]{8}}=2$

Hier darf $a$ negativ sein (s. Abschnitt Definition):

${\sqrt[{3}]{-8}}=-2.$

Allgemein schreibt man mit Wurzelexponent $n$:

${\sqrt[{n}]{a}}$

fur den $n$-te Wurzel aus $a$, mit der Bedeutung:

$({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a.$

Hat der Wurzelexponent den Wert 2, so lässt man ihn meistens weg.
Jede Wurzel kann durch eine Potenz mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden:

${\sqrt[{n}]{a^{x}}}=a^{\frac {x}{n}}$

Rechenregeln beim Radizieren

Es gibt verschiedene Rechenregeln, um Wurzelgleichung ggf. zu vereinfachen oder zu lösen. Hierbei gelten immer die Grundrechenregeln der Mathematik.

Addieren und Subtrahieren von Wurzeln

Man kann nur Wurzeln mit gleichen Exponenten und Radikanden zu einem Glied zusammenfassen. Diese werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten addiert oder subtrahiert.

$a{\sqrt[{n}]{x}}+b{\sqrt[{n}]{x}}=(a+b){\sqrt[{n}]{x}}$
$a{\sqrt[{n}]{x}}-b{\sqrt[{n}]{x}}=(a-b){\sqrt[{n}]{x}}$

Radizieren von Produkten

Das Produkt der Radikanden zweier oder mehrerer Wurzeln mit gleichem Exponenten darf getrennt oder
oder zusammengefasst werden.

${\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$ 

Beispiel :

${\sqrt[{2}]{4\cdot 16}}={\sqrt[{2}]{4}}\cdot {\sqrt[{2}]{16}}=2\cdot 4=8$

ist aber auch das selbe wie

${\sqrt[{2}]{4\cdot 16}}={\sqrt[{2}]{64}}=8$ 

ebenfalls gilt folgender Ausdruck :

$a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}\cdot b}}$ 

Einschränkend muss berücksichtigt werden, dass die Formel bei einem negativen Faktor a keinen negativen Wurzelexponenten n aufweisen darf.

Beispiele :

$2{\sqrt[{3}]{5}}={\sqrt[{3}]{2^{3}}}\cdot {\sqrt[{3}]{5}}={\sqrt[{3}]{8\cdot 5}}={\sqrt[{3}]{40}}$ 

${\sqrt[{4}]{162}}={\sqrt[{4}]{81\cdot 2}}={\sqrt[{4}]{81}}\cdot {\sqrt[{4}]{2}}={\sqrt[{4}]{3^{4}}}\cdot {\sqrt[{4}]{2}}=3{\sqrt[{4}]{2}}$ 

Radizieren von Quotienten ( Brüchen )

Man kann einen Bruch radizieren, in dem man aus Zähler und Nenner die Wurzel zieht und die Wurzelwerte dividiert.

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

ne

Radizieren von Potenzen

Eine Potenz kann radiziert werden, indem man die Wurzel aus der Basis zieht und den Wurzelwert anschließend mit dem Exponenten potenziert.

${\sqrt[{n}]{a^{x}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{x}$

Des Weiteren darf man den Wurzel- und Basisexponenten nach Belieben kürzen und erweitern.

${\sqrt[{bn}]{a^{bx}}}={\sqrt[{n}]{a^{x}}}$

Radizieren von Wurzeln

Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzelexponenten multipliziert.

${\sqrt[{n}]{\sqrt[{x}]{a}}}={\sqrt[{nx}]{a}}$

Die Wurzelexponenten dürfen auch vertauscht werden.

${\sqrt[{n}]{\sqrt[{x}]{a}}}={\sqrt[{x}]{\sqrt[{n}]{a}}}$

Vorzeichenregeln beim Radizieren

Wenn der Wurzelexponent gerade und der Radikand positiv ist, so ist das Ergebnis immer positiv.

${\sqrt[{2n}]{a}}=b$

Ist der Wurzelexponent ungerade, so hat das Ergebnis immer das Vorzeichen des Radikanden.

${\sqrt[{2n-1}]{a}}=b$ aber ${\sqrt[{2n-1}]{-a}}=-b$

Eine Wurzel mit geraden Wurzepexponenten aus einer negativen Zahl ist für reelle Zahlen unlösbar.
Diese kann nur mit Hilfe einer neuen Zahlenart (komplexe Zahlen, bestehen aus einem reellen und einem imaginären Anteil) dargestellt werden:

Für die imaginären Einheit i setzt man $i={\sqrt {-1}}$ bzw. $i^{2}=-1$

${\sqrt[{}]{-a}}=i\,{\sqrt[{}]{a}}$