Mathematische Übungsbeispiele: Matrizen Rechenweg

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Matrizenmultiplikation

Berechne das Produkt der Matrizen

$\left({\begin{array}{cc}1&-3\\2&5\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}4&-2\\7&0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right)$

Multipliziert man zwei $(2,2)$-Matrizen miteiander, ergibt sich wieder eine $(2,2)$-Matrix. Ein Element $a_{ij}$ ergibt sich durch Skalarmultiplikation der $i$-ten Zeile der ersten Matrix mit der $j$-ten Spalte der zweiten Matrix.

${\begin{array}{ccccccc}(1\cdot 4)&+&(-3\cdot 7)&=&a_{11}&=&-17\\(1\cdot -2)&+&(-3\cdot 0)&=&a_{12}&=&\cdots \\(2\cdot 4)&+&(5\cdot 7)&=&a_{21}&=&\cdots \\(2\cdot -2)&+&(5\cdot 0)&=&a_{22}&=&\cdots \\\end{array}}$

Das Ergebnis ist somit

$\left({\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-17&-2\\43&-4\end{array}}\right)$

Für die Lösungsüberprüfung musst du -17, -2, 43, -4 eingeben.

Matrix und Vektor

Berechne das Produkt aus Matrix und Vektor

$\left({\begin{array}{cc}2&1\\-1&3\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}-2\\1\end{array}}\right)$

Multipliziert man eine $(2,2)$-Matrix mit einer $(2,1)$-Matrix (ein Vektor) miteiander, ergibt sich eine $(2,1)$-Matrix, also wieder ein Vektor. Ein Element $a_{ij}$ ergibt sich wie oben durch Skalarmultiplikation der $i$-ten Zeile der ersten Matrix mit der $j$-ten Spalte der zweiten Matrix (in dem Fall hat sie nur eine einzige und man braucht den Index für Spalte gar nicht anzuschreiben)

${\begin{array}{ccccccc}(2\cdot -2)&+&(1\cdot 1)&=&a_{1}&=&-3\\(-1\cdot -2)&+&(3\cdot 1)&=&a_{2}&=&5\end{array}}$

Für die Lösungsüberprüfung musst du -3, 5 eingeben.