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Randwertaufgabe

Die Randwertaufgabe bestimmt Startazimut und Distanz bei bekannten Anfangs- (U₁,V₁)und Endpunkt (U₂,V₂).

Ansatz

Sind die Legendreschen Reihen für eine Fläche aufgestellt, werden sie in Riemannschen Koordinaten ausgedrückt, es findet also eine Ersetzung mit den folgenden Formeln statt:

$x=S\cdot \cos A$

$y=S\cdot \sin A$

Allgemeines Beispiel für Koeffizientenvergleich

Die Reihe habe die Gestalt

x(y)=b_{0}+b_{1}y+b_{2}y^{2}

Mit den bekannten Koeffizienten b_i.

Gesucht sind die Koeffizienten a_i der umgekehrten Funktion

y(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}

Das bekannte x wird in die y-Funktion eingesetzt:

y(x)=a_{0}+a_{1}(b_{0}+b_{1}y+b_{2}y^{2})+a_{2}(b_{0}+b_{1}y+b_{2}y^{2})^{2}

Ausquadriert und unter Vernachlässigung von Gliedern mit Ordnung ab 3:

y(x)=a_{0}+a_{1}(b_{0}+b_{1}y+b_{2}y^{2})+a_{2}(b_{0}^{2}+2b_{0}b_{1}y+(b_{1}^{2}+2b_{0}b_{2})y^{2})+{\mathcal {O}}(3)

Ordnen nach y ergibt:

0\cdot y^{0}+1\cdot y^{1}+0\cdot y^{2}=(a_{0}+a_{1}b_{0}+a_{2}b_{0}^{2})y^{0}+(a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{0}b_{1})y^{1}+(a_{2}(b_{1}^{2}+2b_{0}b_{2})+a_{1}b_{2})y^{2}

Der Koeffizientenvergleich bezieht sich auf rechte und linke Seite, deswegen links die Nullterme. Es entstehen drei Gleichungen für die drei Unbekannten b_i:

0=a_{0}+a_{1}b_{0}+a_{2}b_{0}^{2}

1=a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{0}b_{1}

0=a_{2}(b_{1}^{2}+2b_{0}b_{2})+a_{1}b_{2}

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt:

$a_{0}=-{\frac {b_{0}}{b_{1}}}-{\frac {b_{0}^{2}b_{2}}{b_{1}^{3}}}$

$a_{1}={\frac {1}{b_{1}}}+2{\frac {b_{0}^{2}b_{2}}{b_{1}^{3}}}$

$a_{2}=-{\frac {b_{2}}{b_{1}^{3}}}$

Bemerkung

Natürlich unterliegen die so gewonnenen Reihen denselben Beschränkungen hinsichtlich der Distanz wie die Legendrereihen für die Anfangswertaufgabe, d.h. maximale Entfernung 150 km.