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MathemaTriX ⋅ Erweitern und Kürzen

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Theorie

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Erweitern und Kürzen

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Erweitern

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Erweitern ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multipliziert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

Bruchkürzen

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Kürzen ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl dividiert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

In all diesen Fällen arbeitet man mit natürlichen Zahlen (positive Zahlen ohne Komma).

Erklärung des Erweiterns und des Kürzens

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Vergleichen wir die beiden Bilder. Im ersten Bild wird das Ganze im geteilt, zwei Teile davon werden dunkel dargestellt. Das ist also eine Repräsentation des Bruches . Im zweiten Bild wird das Ganze nicht nur in (waagerecht) sondern auch in (senkrecht) geteilt. Dadurch entstehen im Ganzen kleine "Quadrate". Jedes kleines Quadrat ist daher des Ganzen. Die dunkle Region () beinhaltet allerdings solche "Quadrate" also . Man folgt daraus, dass ist. Man hat in diesem Fall sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl (hier ) multipliziert: . Diesen Prozess nennt man erweitern.

 

Der Gegenprozess ist dann das Kürzen. Im ersten Bild wird das Ganze in Zeilen und Spalten also insgesamt in kleine "Quadrate" geteilt (das könnte selbstverständlich eine andere Austeilung sein). Die blaue Region ist solche Teile, also . Wenn man jetzt die waagerechte Austeilung (in Fünf Zeilen geteilt) entfernt (zweites Bild), dann ist das ganze nur in (Spalten) geteilt, wobei jetzt die blaue Region Spalten davon ist also . In diesem Fall haben wir sowohl Zähler als auch Nenner durch die gleichen Zahl (hier ) dividiert: . Diesen Prozess nennt man kürzen.

Aufgaben

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Erweitern

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    1. Erweitern Sie folgende Brüche mit der jeweils in Klammern angegebenen Zahl bzw. Variable!
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    1. Erweitern Sie folgende Brüche mit der jeweils in Klammern angegebenen Zahl bzw. Variable!
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    1. Erweitern Sie folgende Brüche mit der jeweils in Klammern angegebenen Zahl bzw. Variable!
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    1. Erweitern Sie folgende Brüche mit der jeweils in Klammern angegebenen Zahl bzw. Variable!
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Kürzen

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    1. Kürzen Sie folgende Brüche!
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    1. Kürzen Sie folgende Brüche!
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    1. Kürzen Sie folgende Brüche!
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    1. Kürzen Sie folgende Brüche!
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