Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Geometrie Beweise

Satz von Pythagoras

Mit Hilfe der Figur beweisen Sie den Satz von Pythagoras.

Plus binomische Formel

Mit Hilfe der Figur und von Formeln der Geometrie zeigen Sie, dass $(a+b)^{2}=a^{2}+2\ a\ b+b^{2}$

$\ \ \textstyle A_{gQ}$ ist die Fläche des großen Quadrats. $\ \ \textstyle A_{1}$, des Quadrats oben links, $\ \ \textstyle A_{2}$ des Rechtecks oben rechts. $\ \ \textstyle A_{3}$, des Rechtecks unten links, $\ \ \textstyle A_{4}$ des Quadrats unten rechts. $\ \ \textstyle A_{gQ}=(a+b)^{2},\quad A_{1}=a^{2},\quad A_{2}=A_{3}=a\cdot b,\quad A_{4}=b^{2}$ Das Ganze (das große Quadrat) ist die Summe seiner Teilen. $\ \ \textstyle A_{gQ}=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}$ $\ \ \textstyle (a+b)^{2}=a^{2}+a\ b+b\ a+b^{2}$ $\ \ \textstyle (a+b)^{2}=a^{2}+2\ a\ b+b^{2}$

Minus binomische Formel

Mit Hilfe der Figur und von Formeln der Geometrie zeigen Sie, dass $(a-b)^{2}=a^{2}-2\ a\ b+b^{2}$

$\ \ \textstyle A_{gQ}$ ist die Fläche des großen Quadrats. $\ \ \textstyle A_{1}$, des Quadrats oben links, $\ \ \textstyle A_{2}$ des Rechtecks oben rechts. $\ \ \textstyle A_{3}$, des Rechtecks unten links, $\ \ \textstyle A_{4}$ des Quadrats unten rechts. $\ \ \textstyle A_{gQ}=a^{2},\quad A_{1}=(a-b)^{2},\quad A_{2}=A_{3}=(a-b)\cdot b,\quad A_{4}=b^{2}$ Das Ganze (das große Quadrat) ist die Summe seiner Teilen. $\ \ \textstyle A_{gQ}=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}\quad |$ $\ \ \textstyle a^{2}=(a-b)^{2}+(a-b)\cdot b+(a-b)\cdot b+b^{2}\quad |$(Klammer auflösen) $\ \ \textstyle a^{2}=(a-b)^{2}+a\cdot b-b^{2}+a\cdot b-b^{2}+b^{2}\quad |$(Zusammenrechnen) $\ \ \textstyle a^{2}=(a-b)^{2}+2\cdot a\cdot b-b^{2}\quad |$ $\ \ \textstyle a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}=(a-b)^{2}\quad |$(Seiten wechseln) $\ \ \textstyle (a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$