Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Graphische Lösung eines linearen Gleichungssystems

Lösen Sie graphisch folgendes lineares Gleichungsystem:

$\left|\ {\begin{matrix}2x+3y=11\\7x+2y=-4\end{matrix}}\ \right|$

Beide lineare Funktionen mit Hilfe von jeweils 2 Punkten abzeichnen:

• 
  Funktion A
• 
  Funktion B
• 
  Funktion A und B

Funktion A: $\ x+y=8$

Für $x=0$ ist $x+y=8$ → $y=8-x$ → $y=8-0$ → $y=8$.

Für $x=1$ ist: $x+y=8$ → $y=8-x$ → $y=8-1$ → $y=7$.

$P_{A1}(0|8)$ und $P_{A2}(1|7)$. Diese Punkte können wir dann im
Koordinatensystem zeichnen und auch die Gerade, die der Funktion
$x+y=8$ entspricht, wie im Bild „Funktion A“.

Funktion B:$\ \ 3x+5y=36$

Für $x=0$ ist: $3x+5y=36$ → $5y=36-3x$ → $5y=36-3\cdot 0$ → $5y=36$ → $y=7{,}2$.

Für $x=1$ ist $3x+5y=36$ → $5y=36-3x$ → $5y=36-3\cdot 1$ → $5y=33$ → $y=6{,}6$.

$P_{B1}(0|7{,}2)$ und $P_{B2}(1|6{,}6)$. Diese Punkte können wir dann im
Koordinatensystem zeichnen und auch die Gerade, die der Funktion
$3x+5y=36$ entspricht, wie im Bild „Funktion B“.

Der Schnittpunkt der beiden Geraden $L(2|6)$ ist schätzungsweise die Lösung des Gleichungssystems.

Einsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungsystem mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:

$\left|\ {\begin{matrix}2x+3y=11\\7x+2y=-4\end{matrix}}\ \right|$

$\left|{\begin{array}{rl}x+y&=8\\3x+5y&=36\end{array}}\right|$

Wir formen die erste Gleichung auf x um: $\ x=8-y$

und setzten wir das Ergebnis in die zweite Gleichung ein:

$3\cdot (8-y)+5y=36$	|Klammer auflösen
$24-3y+5y=36$	|-24 (und y zusammenrechnen)
$2y=12$	| :2
$y=6$

Gleichsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungsystem mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens:

$\left|\ {\begin{matrix}2x+3y=11\\7x+2y=-4\end{matrix}}\ \right|$

$\left|{\begin{array}{ll}x+y&=8\\3x+5y&=36\end{array}}\right|\rightarrow \left|{\begin{array}{ll}x&=8-y\\3x&=36-5y\end{array}}\right|\rightarrow \left|{\begin{array}{l}x=8-y\\x={\frac {36-5y}{3}}\end{array}}\right|\quad {\begin{array}{l}|\mathbf {I} \\|\mathbf {II} \end{array}}$

II=I

$\textstyle {\frac {36-5y}{3}}=8-y$	|⋅3
$36-5y=3(8-y)$	|(Klammer auflösen)
$36-5y=24-3y$	|−36+3y
$-2y=-12$	|:(−2)
$y=6$

und daher

$x=8-y=8-6=2$

Die Antwort ist:

$x=2$ und $y=6$

Additionsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungsystem mit Hilfe des Eliminationsverfahrens:

$\left|\ {\begin{matrix}2x+3y=11\\7x+2y=-4\end{matrix}}\ \right|$

$\left|{\begin{matrix}2x+3y=11\\7x+2y=-4\end{matrix}}\right|{\begin{array}{l}\quad |\cdot 2\\\quad |\cdot (-3)\end{array}}\qquad \left|{\begin{matrix}4x+6y=22\\-21x-6y=12\end{matrix}}\right|{\begin{array}{l}\quad |\mathbf {I} \\\quad |\mathbf {II} \end{array}}$

I + II (Gleichungsseitenweise)

${\begin{array}{rl}4x+6y-21x-6y&=22+12\\-17x&=34\qquad \quad |:(-17)\\x&=-2\end{array}}$

$2{\cancel {x}}^{(=-2)}+3y=11\quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot {(-2)}+3y=11\quad \Leftrightarrow \quad$

$-4+3y=11\quad \Leftrightarrow \quad 3y=15\quad \Leftrightarrow \quad y=5$