Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

Beweisen Sie die Gleichung $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ mit Hilfe der entsprechenden Definitionen und des Pythagoras-Satzes! Zeigen Sie dann dazu, dass $\textstyle \ \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}\ \$und $\textstyle \ \tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1$

In einem rechtwinkeligen Dreieck mit c als Hypotenuse und
a und b als Katheten gilt:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Für den Winkel α (der Seite a gegenüber) gilt laut Definition:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}\ \rightarrow \ a=c\ \sin \alpha \quad$und $\quad \cos \alpha ={\frac {b}{c}}\ \rightarrow \ b=c\ \cos \alpha$

Daher:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\ \rightarrow \ c^{2}\ \sin ^{2}\alpha +c^{2}\cos ^{2}\alpha =c^{2}\ \rightarrow \$
$c^{2}\ (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )=c^{2}\ \rightarrow \ \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

c² ist sicherlich nicht null (sonst hätten wir kein Dreieck),
daher können wir es wegfallen lassen.

Da der Winkel α irgendeine Zahl sein kann,
und wir daher ein anders Symbol dafür benutzen
dürfen, können wir stattdessen x schreiben:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

Laut Definition des Tangens ist er so viel wie das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Daher gilt auch:

$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {c\ \sin \alpha }{c\ \cos \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Die Kombination der beiden Ergebnissen können wir benutzten, um zu zeigen, dass $\textstyle \ \tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1$:

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\Rightarrow \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-{\frac {\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1$