MathemaTriX ⋅ Einheiten und Zahlendarstellung

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 und 2 probieren,
sie sind unterschiedlich!

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

Grundwissen

Phys. Größe	Einheiten

Zeit (t)	Tag	24	h	60	min	60	s	1000	ms

Masse (m) ("Gewicht")	t	1000	kg	1000	g	1000	mg

Abstand (d, $\ell$ ,...) (Strecke, ...)	km	1000	m	10	dm	10	cm	10	mm

Fläche (A)	km²	1000²	m²	10²	dm²	10²	cm²	10²	mm²

Volumen (V)	km³	1000³	m³	10³	dm³ $(\ell )$	10³	cm³	10³	mm³

Umrechnung	groß	$----\longrightarrow$			mal	$----\longrightarrow$			klein

		$\longleftarrow ----$			durch	$\longleftarrow ----$

Zusammengesetzte Einheiten:

Jeder "Teil"-Einheit müssen wir durch die entsprechende "Ziel"-Einheit ersetzen.

Beispiel:

Rechnen wir 45 in/s in m/min um, wenn wir wissen, dass 5 Zoll (englische Längeneinheit, Symbol "in" von "inch") 127 mm sind. Jeder "Teil"-Einheit wird durch die entsprechende "Ziel"-Einheit ersetzt. Wir haben zwei "Teil"-Einheiten Zoll (in) und Sekunde (s) (für die Umrechnungen kann man notfalls auch Schlussrechnung benutzen).

5 Zoll sind 127 mm, also 0,127 m. Daher ist 1 Zoll (in):

$1\ in={\tfrac {0{,}127}{5}}\ m.$

1 Minute ist 60 Sekunde daher ist 1 s:

$1\ s={\tfrac {1}{60}}\ min\$

Wir ersetzen dann die "Teil"-Einheiten durch die "Ziel"-Einheiten:

$\textstyle 45{\frac {in}{s}}=45{\dfrac {\cancelto {=1\ in}{{\frac {0{,}127}{5}}\ m}}{\cancelto {=1\ s}{{\frac {1}{60}}\ min}}}=45\cdot {\dfrac {\frac {0{,}127}{5}}{\frac {1}{60}}}{\frac {m}{min}}=68{,}58{\frac {m}{min}}$

Wenn wir mehrere Werte der gleichen physikalischen (oder sonst) Größe mit unterschiedlichen Einheiten vergleichen wollen, dann wählen wir eine Einheit und rechnen wir alle andere auf diese Einheit um.

Gleitkommadarstellung

In der Gleitkommadarstellung haben wir eine Zahl z zwischen 1 und $9{,}{\dot {9}}$ (also $1\leq z<10$ und eine Potenz von 10. Die Zahl 340000 ist dann $3{,}4\cdot 10^{5}\$ (Komma 5 mal nach links verschoben, "Zahl kleiner geworden" also Hochzahl +5). Die Zahl 0,00673 ist dann $6{,}73\cdot 10^{-3}\$ (Komma 3 mal nach rechts verschoben, "Zahl größer geworden" also Hochzahl -3).

Präfixe

Die Präfixe stehen in der Formelsammlung!

Die Präfixe im SI:^[1]
Symbol	Name	Ursprung	Wert
T	Tera	gr. τέρας téras = Ungeheuer / gr. τετράκις tetrákis = viermal	10¹²	1.000.000.000.000	Billion
G	Giga	gr. γίγας gígas = Riese	10⁹	1.000.000.000	Milliarde
M	Mega	gr. μέγα méga = groß	10⁶	1.000.000	Million
k	Kilo	gr. χίλιοι chílioi = tausend	10³	1.000	Tausend
h	Hekto	gr. ἑκατόν hekatón = hundert	10²	100	Hundert
da	Deka	gr. δέκα déka = zehn	10¹	10	Zehn
—	—	—	10⁰	1	Eins
d	Dezi	gr. δέκατος dékatos daraus lat. decimus = zehnter	10⁻¹	0,1	Zehntel
c	Zenti	gr. ἑκατοστός hekatostós daraus lat. centesimus = hundertster	10⁻²	0,01	Hundertstel
m	Milli	lat. millesimus = tausendster	10⁻³	0,001	Tausendstel
µ	Mikro	gr. μικρός mikrós = klein	10⁻⁶	0,000 001	Millionstel
n	Nano	gr. νάνος nános = "Zwerg"	10⁻⁹	0,000 000 001	Milliardstel
p	Piko	ital. piccolo = klein	10⁻¹²	0,000 000 000 001	Billionstel

Zahlendarstellungen

Die gleiche Zahl kann in unterschiedlichen Darstellung auftauchen. Beispiel:

${\sqrt {81}}=3^{2}=9=900\%={\tfrac {90}{10}}={\tfrac {45}{5}}\ {\text{usw.}}$

In diesen Fall rechnen wir alles mit einem Hilfsmittel (z.B. GeoGebra) und vergleichen wir die Ergebnisse.

Wenn verschiedene Ausdrücke mit einem Symbol verglichen werden müssen, ersetzen wir dieses Symbol durch eine etwas komplexer Zahl (also nicht 0 oder 1 sondern z.B. 44) und führen wir den vorherigen Schritt aus: wir rechnen alles mit einem Hilfsmittel (z.B. GeoGebra) und wir vergleichen die Ergebnisse. Beispiel:

${\sqrt {a^{3}}}\$ mit $a^{1{,}5}\$ vergleichen. Ersetzen wir a durch 44 und machen wir die Berechnung:

${\sqrt {44^{3}}}\approx 291{,}86$

$44^{1{,}5}\approx 291{,}86$

Also wir können annehmen, dass die Ausdrücke gleichwertig sind.

Das ist selbstverständlich kein genauer Weg, er macht allerdings das Leben einfacher (sonst muss man einige Regeln lernen ).

Aufgaben

Die Breite des Grundstücks ist in der Tat 65 m. Wie viel ist die tatsächliche Länge der Straße und wie viel der Maßstab der Karte?
Nehmen wir an, das jemand an diese Breite eine Wand aufbauen will. Für eine Ziegelreihe sind 292,5 Ziegel notwendig. Wie viel ist die Länge eines Ziegels in m?

Welche der folgenden Ausdrücke sind zueinander gleich?

${\sqrt[{2a}]{625}}$	A
${\tfrac {1}{a^{25}}}$	B
$5^{\frac {2}{a}}$	C
${\sqrt[{a}]{25}}$	D
$25^{\frac {1}{-a}}$	E
${\sqrt[{a}]{2500\%}}$	F
$a^{2{,}5}$	G

Laut einer Definition des Zolls (in: Inch,Englische Abstandseinheit) sind 5 Zoll gleich 127 mm. Rechnen Sie 45 in/s in m/min um. Rechnen Sie 0,2 mm/s in in/h um.

Antwort

1,6 km bzw. 1:50000
$0{,}{\dot {2}}\ m$
A=C=D=F
45 in/s=68,58 m/min, 0,2 mm/s≈28,35 in/h

Nehmen wir an, dass die Erde und die Sonne die Form einer Kugel haben. Der Durchmesser der Sonne ist ca. das 55-fache des Durchmessers der Erde. Jemand behauptet, dass das Volumen der Sonne 5500% des Volumens der Erde sei. Stimmt das oder nicht und warum?

Schreiben Sie 0,85 Milliarden in Gleitkommadarstellung auf! Welche der folgenden Möglichkeiten entspricht dieser Zahl nicht?

$850\cdot 10^{6}$
$85\cdot 10^{7}$
$8{,}50\cdot 10^{9}$
$8500\cdot 10^{-7}Billionen$
$0{,}850\cdot 10^{9}$

Zeigen Sie, dass bei der Umrechnung der Dichte der Erde von kg/m³ in $g/\ell$ die Maßzahl unverändert bleibt!

Welche der folgenden Ausdrücken sind zueinander gleich? Wie kann man umrechnen?

$35{,}4\ \mu g/m\ell$	A
$0{,}0354\ mg/m^{3}$	B
$35{,}4\ kg/m^{3}$	C
$35{,}4\ mg/\ell$	D
$35{,}4\ g/\ell$	E
$35400\ \mu g/\ell$	F
$35400000\ \mu g/m^{3}$	G

Antwort

nein, da 5500%≠55³
8,5⋅10⁸, das 3.
$a{\tfrac {kg}{m^{3}}}=a{\tfrac {1000g}{1000\ell }}=a{\tfrac {g}{\ell }}$
A=B=F=G,C=E

Der Durchmesser der Erde ist ca. $12{,}8\cdot 10^{6}\ m$ . Wie viel ist ihr Abstand zur Sonne in Meter?
Nehmen wir an, dass die Erde eine Kugel ist. Jemand will ihren Umfang mit Büroklammern umranden. Dafür sind 0,85 Milliarden Büroklammern notwendig. Wie viel ist ihre Länge in mm?

Welche der folgenden Ausdrücke sind zueinander gleich?

${\sqrt[{1000}]{a^{2500}}}$	A
${\tfrac {1}{a^{-2{,}5}}}$	B
$a^{\frac {5}{2}}$	C
${\sqrt[{a}]{25}}$	D
$a^{\frac {1}{25}}$	E
${\sqrt[{25}]{a}}$	F
$a^{2{,}5}$	G

Laut einer Definition der Meile sind 5 Meilen gleich 8 Kilometer. Rechnen Sie 45 Meile/min in km/h um. Rechnen Sie 20 m/s in Meilen/h um.

Antwort

149,76 Millionen km
ca. 47,3 mm
A=B=C=G,E=F
4320 km/h, 45 Meilen/h

Nehmen wir an, dass die Atome von H und von Fe die Form einer Kugel haben und dass der Durchmesser von Fe ca. das 2,1-fache des Durchmessers von H ist. Jemand behauptet, dass in diesem Fall die Oberfläche des Atoms von Fe um 341% mehr als die von H ist. Stimmt das oder nicht und warum?

Schreiben Sie

36{,}2\cdot 10^{7}

in Gleitkommadarstellung auf! Welche der folgenden Möglichkeiten entspricht dieser Zahl nicht?

$3620\cdot 10^{6}$
$3620\cdot 10^{5}$
$0{,}362\cdot 10^{9}$
$3620\cdot 10^{-7}Billionen$
$3{,}620\cdot 10^{8}$

Zeigen Sie, dass bei der Umrechnung der Geschwindigkeit von m/s in km/h die Maßzahl das 3,6-fache wird!

Welche der folgenden Ausdrücken sind zueinander gleich? Wie kann man umrechnen?

$35{,}00\ \mu m/s$	A
$2{,}1\ mm/min$	B
$0{,}000035\ mm/ms$	C
$2{,}1\ cm/min$	D
$0{,}035\ \mu m/ms$	E
$35000\ n/s$	F
$12{,}6\ cm/h$	G

Antwort

2,1²=441% also 341% mehr
3,62⋅10⁸, das 1.
$a{\tfrac {m}{s}}=a{\tfrac {{\tfrac {1}{1000}}km}{{\tfrac {1}{3600}}h}}=$ $a{\tfrac {3600\ km}{1000\ h}}=a\cdot 3{,}6{\tfrac {km}{h}}$
A=B=E=F=G

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↑ BIPM – SI prefixes (englisch) – „BIPM – SI-Broschüre“, 8. Auflage, März 2006, Abschnitt 3.1: SI-Präfixe

[BIPM_–_SI_prefixes-1] BIPM – SI prefixes (englisch) – „BIPM – SI-Broschüre“, 8. Auflage, März 2006, Abschnitt 3.1: SI-Präfixe

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