MathemaTriX ⋅ Einheitskreis

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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 von jedem Aufgabentyp probieren,
sie sind unterschiedlich!

	lle	Gaben
	uf-

Radiant

	$\$
	$\ \$

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
A) $\ 3\pi \ rad$ , B) $\ {\frac {5\pi }{9}}\ rad$ , C) $\ 0{,}2\ rad$ , D) $\ {\frac {5}{9\pi }}\ rad$ , E) $\ 360\ rad$
Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
A) $\ 300^{\circ }$ , B) $\ 0{,}2^{\circ }$ , C) $\ 3\pi ^{\circ }$ , D) $\ {\frac {170}{9\pi }}^{\circ }$ , E) $\ 145^{\circ }$
Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
A) $\ 300^{\circ }$ , B) $\ 100^{\circ }$ , C) $\ 2\ rad$ , D) $\ 1\ rad$ , E) $\ 390^{\circ }$

Antwort

A) $\ 540^{\circ },\quad$ B) $\ 100^{\circ },\quad$ C) $\ ca.\ 11{,}5^{\circ },\quad$ D) $\ ca.\ 10{,}1^{\circ },\quad$ E) $\ ca.\ 20626^{\circ }\quad$
A) $\ ca.\ 5{,}24\ rad,\quad$ B) $\ ca.\ 0{,}0035\ rad,\quad$ C) $\ ca.\ 0{,}164\ rad,\quad$ D) $\ 0{,}105\ rad,\quad$ E) $\textstyle \ {\frac {3\pi }{4}}\ rad\quad$
A) 4.Q $\quad$ B) 2.Q $\quad$ C) 2.Q $\quad$ D) 1.Q $\quad$ E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
a) $\ 5\pi \ rad$ , B) $\ {\frac {9\pi }{7}}\ rad$ , C) $\ 0{,}6\ rad$ , D) $\ {\frac {4}{5\pi }}\ rad$ , E) $\ 270\ rad$
Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
A) $\ 200^{\circ }$ , B) $\ 0{,}5^{\circ }$ , C) $\ 5\pi ^{\circ }$ , D) $\ {\frac {260}{4\pi }}^{\circ }$ , E) $\ 342^{\circ }$
Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
A) $\ 200^{\circ }$ , B) $\ 330^{\circ }$ , C) $\ 5\ rad$ , D) $\ 0{,}6\ rad$ , E) $\ 35^{\circ }$

Antwort

A) $\ 900^{\circ },\quad$ B) $\ ca.\ 231^{\circ },\quad$ C) $\ ca.\ 34{,}4^{\circ },\quad$ D) $\ ca.\ 14{,}6^{\circ },\quad$ E) $\ ca.\ 15470^{\circ }\quad$
A) $\ ca.\ 3{,}49\ rad,\quad$ B) $\ ca.\ 0{,}0087\ rad,\quad$ C) $\ ca.\ 0{,}274\ rad,\quad$ D) $\ 0{,}361\ rad,\quad$ E) $\textstyle \ {\frac {19\pi }{10}}\ rad\quad$
A) 3.Q $\quad$ B) 4.Q $\quad$ C) 4.Q $\quad$ D) 1.Q $\quad$ E) 1.Q

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
a) $\ 4\pi \ rad$ , B) $\ {\frac {7\pi }{5}}\ rad$ , C) $\ 0{,}5\ rad$ , D) $\ {\frac {5}{8\pi }}\ rad$ , E) $\ 315\ rad$
Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
A) $\ 250^{\circ }$ , B) $\ 0{,}4^{\circ }$ , C) $\ 4\pi ^{\circ }$ , D) $\ {\frac {310}{7\pi }}^{\circ }$ , E) $\ 217^{\circ }$
Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
A) $\ 100^{\circ }$ , B) $\ 272^{\circ }$ , C) $\ 1{,}5\ rad$ , D) $\ 8{,}6\ rad$ , E) $\ 687^{\circ }$

Antwort

A) $\ 720^{\circ },\quad$ B) $\ 252^{\circ },\quad$ C) $\ ca.\ 28{,}6^{\circ },\quad$ D) $\ ca.\ 11{,}4^{\circ },\quad$ E) $\ ca.\ 18048^{\circ }\quad$
A) $\ 1{,}3{\dot {8}}\pi \ rad,\quad$ B) $\ ca.\ 0{,}0070\ rad,\quad$ C) $\ ca.\ 0{,}246\ rad,\quad$ D) $\ 0{,}361\ rad,\quad$ E) $\textstyle \ ca.\ 3{,}80\ rad\quad$
A) 2.Q $\quad$ B) 3.Q $\quad$ C) 4.Q $\quad$ D) 1.Q $\quad$ E) 2.Q aber mehr als Halbkreis!

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
a) $\ 7\pi \ rad$ , B) $\ {\frac {7\pi }{6}}\ rad$ , C) $\ 1{,}5\ rad$ , D) $\ {\frac {7}{9\pi }}\ rad$ , E) $\ 420\ rad$
Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
A) $\ 15^{\circ }$ , B) $\ 0{,}8^{\circ }$ , C) $\ 7\pi ^{\circ }$ , D) $\ {\frac {430}{7\pi }}^{\circ }$ , E) $\ 560^{\circ }$
Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
A) $\ 90^{\circ }$ , B) $\ 180^{\circ }$ , C) $\ 1\ rad$ , D) $\ 7{,}6\ rad$ , E) $\ 730^{\circ }$

Antwort

A) $\ 1260^{\circ },\quad$ B) $\ 210^{\circ },\quad$ C) $\ ca.\ 85{,}9^{\circ },\quad$ D) $\ ca.\ 14{,}2^{\circ },\quad$ E) $\ ca.\ 24100^{\circ }\quad$
A) $\ {\tfrac {\pi }{12}}\ rad,\quad$ B) $\ \ {\tfrac {\pi }{225}}rad,\quad$ C) $\ {\tfrac {7\pi ^{2}}{360}}\ rad,\quad$ D) $\ {\tfrac {43}{252}}\ rad,\quad$ E) ${\tfrac {14\pi }{9}}\ rad\quad$
A) 1.Q $\quad$ B) zwischen 2. und 3. Q $\quad$ C) 1.Q $\quad$ D) 1.Q aber mehr als Halbkreis! $\quad$ E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!

Einheitskreis wichtige Punkte

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	$\ \$

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Sinus 0, 1 oder -1? Geben Sie diesen Winkel
sowohl in Grad als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\sin x=0\Leftrightarrow x=n\cdot \pi \ rad=n\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\sin x=1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }+90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\sin x=-1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi -\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }-90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Sinus gleich dem
Kosinus und positiv? Wann ist der Kosinus 1/2?
Geben Sie vier Winkeln jeder Art sowohl in Grad
als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\sin x=cosx>0\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{4}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }+45^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\textstyle \cos x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }\pm 60^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Kosinus gleich 0, 1 oder −1?
Geben Sie vier Winkeln jeder Art sowohl in Grad
als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\cos x=1\Leftrightarrow x=2\,n\cdot \pi \ rad=n\cdot \ 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\cos x=0\Leftrightarrow x=\left(n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 180^{\circ }+90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\cos x=-1\Leftrightarrow x=(2\,n+1)\cdot \pi \ rad=(2\,n+1)\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Kosinus gleich ${\tfrac {1}{2}}$ oder $-{\tfrac {1}{2}}$ ?
Geben Sie vier Winkeln jeder Art sowohl in Grad
als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\cos x={\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\left(2\ n\cdot \pi \pm {\tfrac {\pi }{4}}\right)\ rad=2\ n\cdot \ 360^{\circ }\pm 45^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\cos x=-{\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=(2\,n+1\pm {\tfrac {\pi }{4}})\cdot \pi \ rad=(2\,n+1\pm {\tfrac {1}{4}})\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

	$\$
	$\ \$

i) Sinus 0,3 ist.

\quad

ii) Kosinus 0,3 ist.

Antwort

i) Sinus −0,3 ist.

\quad

ii) Kosinus −0,3 ist.

Antwort

i) Sinus 0,8 ist.

\quad

ii) Kosinus −0,8 ist.

Antwort

i) Sinus

-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}

ist.

\quad

ii) Kosinus

{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}

ist.

Antwort

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