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Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Strahlung einer bewegten Ladung

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Um das elektromagnetische Strahlungsfeld einer bewegten Ladung zu bestimmen, haben wir bereits alle notwendigen Mittel bereit gestellt: die retardierte Greensfunktion, um zu einer gegebenen Ladungs- und Stromverteilung (hier also zu einer bewegten Punktladung gehörend) das elektromagnetische Viererpotential zu errechnen. Zunächst machen wir uns aber Gedanken darüber, ob sich die Viererstromdichte und die retardierte Greensfunktion relativistisch kovariant formulieren lassen.

Der Vektor



ist bereits ein Vierervektor. Denn wenn die Ladungsdichte und sind, dann gilt , wobei ein Vierervektor und relativistisch invariant ist: Sei z.B. mit einem Lorentz-Boost entlang der x-Achse. Dann gilt

mit der Jacobi-Determinante


,


d.h. .

Die Ladungsdichte für eine Punktladung ist


.


Die Stromdichte lässt sich wie folgt relativistisch kovariant schreiben:


.


Denn auch das Deltafunktional ist relativistisch invariant:


,


d.h. , weil ja gilt.

Die retardierte Greensfunktion lässt sich gleichermaßen relativistisch kovariant schreiben mittels



wegen der folgenden Eigenschaft des Deltafunktionals:

, wobei n die Nullstellen von durchnumeriert: ,

wenn darin gesetzt wird, sodass mit der Lösung für und und .

Der letzte Summand im Ausdruck für kann wegen , d.h. , weggelassen werden.

Für die retardierte Greensfunktion ergibt sich somit


.


Für eine bewegte Punktladung lässt sich jetzt das Vektorpotential (in Lorentz-Eichung) bestimmen:


.


In letztere Gleichung werden und eingesetzt:


.


Entsprechend der Regel , wobei n die Nullstellen von durchnumeriert: , erhalten wir für

, sodass aus die Nullstellen folgen und

mit gilt. Aufgrund von , d.h. wegen , ist nur möglich.

Das Vierpotential wird daher


,


wobei ja über definiert ist.

Mit , d.h. , , folgt



wegen . Skalar- und Vektorpotential ergeben sich daher zu



bzw.



mit der Abkürzung . Diese Potentiale sind in der physikalischen Literatur nach Liénard und Wiechert benannt.

Hieraus können die Felder und berechnet werden, was aber wegen der Retardierung keine leichte Aufgabe ist. Denn die »Zeit«  ist wegen eine Funktion der »retardierten Zeit«  (und umgekehrt). Den Ortsvektor werden wir wieder (wie dies eingangs beim Umschreiben der Stromdichte in eine manifest kovariante Form ja auch bereits geschehen ist) als Funktion der retardierten Zeit ansehen: . Entsprechend verfahren wir mit der Geschwindigkeit : . Für die zuvor eingeführte Größe erhalten wir somit:


.


Die Ableitung z.B. des Vektorpotentials nach der Zeit ergibt sich dann wegen zu


.


Mit dem Index an der partiellen Ableitung drücken wir die Tatsache explizit aus, dass bei Letzterer konstant gehalten wird. Wir benötigen also den Term :



wegen . Diese Gleichung lösen wir nach auf:


.


Aus resultiert:


.


Für erhalten wir somit:


.


Den Term können wir natürlich auch noch ausrechnen:


.


Die partielle Ableitung des Skalarpotentials nach ist gleichermaßen »verwickelt«:


.


Wir benötigen daher u.a. noch den Term :


.


Diese Gleichung können wir nach auflösen:


.


Die partielle Ableitung des Skalarpotentials wird daher


,


wobei


,


mit



sind. Während wir hierin zuvor bereits berechnet haben, müssen wir noch bestimmen:


.


Für erhalten wir somit schließlich:


.


Das elektrische Feld nimmt somit folgende Gestalt an:


.


Drücken wir dies mittels aus und setzen ein, dann ergibt sich


.


Mit folgt . Mit der Umformung



erhalten wir für das elektrische Feld schließlich:


.


Dieses besitzt mit dem zweiten Summanden (in den eckigen Klammern) einen Term, der von der Beschleunigung abhängt. Er enthält im Nenner eine Potenz von R weniger als der erste Summand, der von der Beschleunigung unabhängig ist.

Ganz analog zum elektrischen Feld lässt sich auch die magnetische Flussdichte berechnen:


.


Hierin haben wir den Nabla-Operator eingesetzt, den wir bereits oben auf haben wirken lassen. Wegen



erhalten wir


,


und


,


was in eingesetzt



ergibt. Mittels



resultiert hieraus durch Vergleich mit


,


d.h. Magnetfeld und elektrisches Feld stehen immer senkrecht aufeinander.

Für Große Abstände von der Ladung genügt es, in nur den Term mit der Beschleunigung zu betrachten, da dieser ja eine Potenz in R weniger im Nenner enthält als der Summand in ohne Beschleunigungsterme:


.


Hieraus können wir mittels den Poynting-Vektor ausrechnen:


.


Die Strahlungsleistung hängt von der retardierten Zeit ab während der Poynting-Vektor die Energiestromdichte zur Zeit angibt. Um also die in ein Raumwinkelelement abgestrahle Leistung zu bestimmen, müssen wir die Retardierung berücksichtigen:


,


woraus mittels



resultiert. An dieser Stelle werden in der physikalischen Literatur gerne zwei Spezialfälle diskutiert: Zum einen den einer Beschleunigung parallel zur Geschwindigkeit, d.h. , zum andern der Fall der Synchrotronstrahlung, bei der die Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit steht, d.h. . Der erstere Fall dient dabei der Illustration der sog. Bremsstrahlung, bei der die Beschleunigung als konstant angenommen wird.

Wir begnügen uns hier hingegen nur mit dem nicht relativistischen Grenzfall :


,


wobei der Winkel zwischen und bzw. ist. Integrieren wir dies über den Raumwinkel, so erhalten wir für die gesamte Strahlungsleistung die sog. Larmorformel:


.


Führen wir hierin das Dipolmoment ein, dann gilt: . Bei einer harmonischen Schwingung mit der Kreisfrequenz , d.h. beispielsweise , gilt . Mitteln wir die Strahlungsleistung über eine Periode, so ergibt sich


.


In der Experimentalphysik wird jene Formel für die mittlere Strahlungsleistung mit der -Abhängigkeit gerne herangezogen, um z.B. das Himmelsblau, die Morgen- und Abendröte oder aber auch die Synchrotronstrahlung (s. oben) in Elementarteilchenbeschleunigern zu erklären. Vergleiche hierzu auch unser analoges Ergebnis aus dem Kapitel über »Strahlungssysteme«.