Mikroökonomie/ Unternehmenstheorie

[Zur Vorgehensweise in diesem Kapitel]

Folgend wird zunächst das theoretische Fundament der Unternehmenstheorie vermittelt, unterbrochen durch einige Formeln, welche das Verständnis des Textes erleichtern sollen. Mir ist bewusst, dass zum Aufbau eines Lehrbuchs hierzu mehr als nur eine Lösung besteht(Mankiw, wenig Formeln im Text, Sammlung eher am Ende; Krugman/Obstfeld, alles im Text verteilt;...) bei Fragen oder Anregungen hierzu bitte auf meiner Diskussionseite melden (R.Lehle)

Die Unternehmenstheorie beschäftigt sich mit dem Verhalten der Unternehmen in den verschiedenen Marktsituationen, d.h. mit einem (angenommenen) Optimalverhalten der Unternehmen.

Unternehmer, wie schon zuvor die Konsumenten haben bei ihrer Entscheidung zwei Parameter zu beachten, bzw. zu variieren. Zum Einen wird es dem Unternehmer ein Anliegen sein seine Kosten zu minimieren, zum Anderen seinen Gewinn zu maximieren.

Als Ausgangspunkt, um entstehende Kosten des Unternehmens abzuschätzen (-und zu minimieren) wird man sich jedoch zunächst einmal bewusst machen müssen, in welcher Form, d.h. in welchem Zusammenhang sie mit der Zahl der produzierten Güter stehen. Es wird also nötig sein, weitere Untergliederungen zu treffen und diese mathematisch zu spezifizieren um damit arbeiten zu können.

So nehmen wir zunächst einmal an, dass unser Unternehmen (U) ein Güter produzierendes ist, welches mit, und hier kommen die wohlbekannten Fachtermini hinzu Produktionsfaktoren (Inputs) und dem dazugehörigen Know-How, den Produktionstechnologien ein Gut (Output) herstellt. Was hier zugegebenermaßen etwas lose formuliert wurde werden wir demnächst um einiges konkretisiert und spezifiziert als Produktionsfunktion bezeichnen.

Zunächst einmal nehmen wir zu unserer schon hier nicht zu knappen Sammlung von Annahmen noch hinzu, dass nur ein Gut produziert wird, und jenes auch, für den Anfang ohne Berücksichtigung von Fixkosten nur mithilfe zweier Inputs, Kapital (K) und Arbeit (L) marktfähig gemacht wird.

Dies in die Form einer Produktionsfunktion gegossen, sieht dann in etwa so aus:

F(K,L)=x

wobei x hier (und in nahezu allen folgenden Formeln) die Stückzahl des produzierten Gutes angibt.

Damit hätten wir zumindest auf der Ebene der Abhängigkeiten der Produktion schon einen großen Schritt voran gemacht, jedoch über den Einfluss der Faktoren (Produktionstechnologien!) noch keine Aussage getroffen.

Dies wollen wir im Folgenden ändern. Doch werden wir uns zunächst trotzdem darauf beschränken eine Produktionsfunktion zu skizzieren, welche wir als exogen ansehen, um einer Variation derselben zu entgehen.

Ein sicherlich einleuchtendes Merkmal und zugleich konstituierendes für folgende Analyse wird sein, was den "Ertrag", bzw. für uns von noch größerem Interesse der Grenzertrag und dessen Veränderung eines Produktionsfaktors angeht. Das wollen wir zunächst mit einem Beispiel klären, anhand einer Bar.

Der Inhaber einer Bar(welche sehr gut besucht ist) sieht sich die maximal ausgeschenkte Menge von Cocktails bei

unterschiedlichen Anzahlen von Thekenkräften an. Dabei bemerkt er zunächst, dass zwei etwas weniger als doppelt so viel ausschenken

können als eine einzelne. Nun ist seine Bar jedoch gut besucht(und er will seine Kunden nicht verärgern), darum stellt zusätzliche

eine Thekenkraft ein. Mit Erschrecken stellt er jedoch fest, dass er mit dieser dritten Beschäftigten wieder nicht, wie erwartet

die Hälfte mehr als mit zwei Kräften ausschenken kann sondern der zusätzliche Ausschank eher zurückging!

→Sie blockieren sich gegenseitig hinter der Bar, weil der Platz begrenzt ist!

Parallelen zu unserer Produktionsfunktion sind sicherlich aufgefallen, doch wollen wir nun in mathematisch Fassbarem beschreiben, was dem Inhaber der Bar im Beispiel widerfahren ist. Er hat in unserem Beispiel einen ersten Einblick in die Annahme erhalten, welche das Ertragsgesetz genannt wird. Es basiert im Grunde genommen auf der relativ einleuchtenden Annahme, dass mit zunehmender Anzahl eingesetzter marginaler Einheiten eines Faktors die (positive!) Auswirkung auf F(K,L) einer marginalen Einheit geringer wird, jedoch immer positiv bleibt. In unsere Produktionsfunktion eingesetzt bedeutet dies:

${\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}>0$   bzw.   ${\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}>0$
als erste Bedingung(der Grenzertrag ist immer positiv), und

${\frac {({\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}})}{\partial L}}<0$   bzw. ${\frac {({\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}})}{\partial K}}<0$
als zweite Bedingung(der Grenzertrag sinkt über die ganze Funktion)

Was ihnen bestimmt auffällt ist, dass wir hier nur partiell differenziert haben, doch ist genau dies die Aussage welche wir zuvor trafen. Fürderhin haben wir damit auch schon einen weiteren grundlegenden Begriff eingeführt,
den Grenzertrag bzw. die Grenzproduktivität.

Bei Einsetzen eines bestimmten Wertes für L (z.B. L=L₁) spricht man auch vom Grenzprodukt der Arbeit, wie bei einem Wert für K (z.B. K=K₁) vom Grenzprodukt des Kapitals gesprochen wird.

Konkret bedeutet dies:

${\frac {\partial F(K,L_{1})}{\partial L_{1}}}$   bzw.   ${\frac {\partial F(K_{1},L)}{\partial K_{1}}}$.

Dies stellt den Fall für die Erhöhung eines Produktionsfaktors dar. Soll jedoch eine simultane Erhöhung beider Produktionsfaktoren (um einen Faktor λ z.B.) stattfinden müssen wir uns eines anderen Hilfsmittels bedienen.

Ein Beispiel kann uns dabei helfen, eine Aussage zu treffen, wie sich die Grenzproduktivität der gesamten Funktion verhalten wird. Es wird auch hier, wie zuvor schon drei Fälle geben, wobei der Vergleich zur partiellen Ableitung und den Grenzerträgen sich zwar anbietet, aber hier nur bedingt Anwendung finden kann.

Nun bestehen die Möglichkeiten, dass der Output überproportional, unterproportional oder exakt proportional gegenüber den Inputs wächst, was hier in Formelschreibweise angemessener beschrieben scheint, also:

wir erhöhen alle Inputmengen auf das λ-fache (linke Seite), somit gelangen wir zu

F( λK, λL) > λF(K,L) für den ersten

F( λK, λL) = λF(K,L) für den zweiten

und zu   F( λK, λL) < λF(K,L) für den dritten betrachteten Fall

Falls sie sich nun an Homogene Funktionen erinnert fühlen , so mag dies daran liegen, dass zum Einen tatsächlich Ähnlichkeit besteht und zum Anderen diese auch einen interessanten Spezialfall darstellen, da der Grad der Homogenität schon Aufschluss über das Verhalten der Skalenerträge gibt. Eine Funktion also, welche zum Grade ρ homogen ist ( F( λK, λL)= λ^ρF(K,L) ), wird sodann bei einem ρ<1 abnehmende, bei einem ρ=1 konstante und bei einem ρ>1 steigende Skalenerträge aufweisen.

Nun wollen wir einmal Rekapitulieren:

Wir untersuchten die Veränderung des Outputs bei Erhöhung eines Inputs (..der Sinn einer (partiellen)Ableitung), anschließend betrachteten wir diese erste Veränderung wenn noch mehr Input hinzukam (zweite Ableitung) und schließlich beobachteten wir, wie sich der Output bei simultaner Erhöhung beider Inputs veränderte (Skalenerträge/Homogenität).

Damit wären soweit alle möglichen Fälle abgedeckt, doch bleibt noch die Frage, welche wohl in der Realität am häufigsten vorkommt, wie es denn um die Substituierbarkeit der einzelnen Produktionsfaktoren bestellt sei.

Dies soll nun anhand eines neuen Konstrukts geklärt werden, den Isoquanten bzw. der Grenzrate der Substitution

In einem System mit exogener Produktionsfunktion der Form F(K,L)=x spricht man von einer Isoquante als Menge aller Faktoreinsatzkombinationen, welche die selbe Menge ${\bar {x}}$ an Output generieren. Mit den zuvor getroffenen Annahmen der sinkenden Grenzproduktivität in allen Faktoren $({\frac {\partial F(K,L)}{\partial Lbzw.\partial K}})$ kommen wir aufgrund der zunehmend schwieriger werdenden Substitution zwischen den Faktoren zu einer konvexen Verlauf der Isoquante über die ganze Strecke. Zusätzlich die Annahme hinzuzunehmen, ein Produktionsfaktor für sich allein genommen würde bei fehlendem zweiten Faktor keinen Output erzeugen bedeutet im Hinblick auf eine Isoquante hier nicht bis zu Extrema reichende Funktion. Doch abgesehen von jenen Spezialfällen zeigt die Steigung der Isoquante in jedem Punkt   (..jede Kombination von Inputs) die Grenzrate der technischen Substitution GRTS zwischen den Produktionsfaktoren (in unserem Fall L für Arbeit und K für Kapital|$GRTS_{K,L}$) an. Diese lässt sich auch als der Quotient der Grenzproduktivitäten in jenem Punkt beschreiben. Hier wieder $(GRTS_{K,L}={\frac {\partial F/\partial L}{\partial F/\partial K}})$.

Dabei geht man von der Bedingung einer Isoquante aus, nach welcher die totale Differentiation der Produktionsfunktion

${\frac {\partial F}{\partial K}}dK+{\frac {\partial F}{\partial L}}dL{\stackrel {!}{=}}0$  ist und deshalb gilt ${\frac {dK}{dL}}={\frac {\partial F/\partial L}{\partial F/\partial K}}!$