Physik Oberstufe/ Anhang/ Aufgaben und Übungen Schwingungen und Wellen

Mechanische Schwingungen

Verkürzen eines Fadenpendels

Ein Pendel unbekannter Länge hat die Schwingungsdauer $T_{1}$. Verkürzt man es um $d$, so hat es die Schwingungsdauer $T_{2}$. Berechne daraus die Erdbeschleunigung $g$.

← Fadenpendel

Wassersäulenpendel bei großer Auslenkung

Ein Wassersäulenpendel wird über die Biegung des Rohres hinaus ausgelenkt. Welche Aussage lässt sich in diesem Fall bezüglich der Periodendauer $T$ machen?

← Schwingende Wassersäule

Elektromagnetische Schwingungen

Allgemeine Lösung und Anfangsbedingungen

LC-Schwingkreis: Zum Zeitpunkt $t=0$ wird der aufgeladene Kondensator $C$ über die Induktivität $L$ entladen.

Unsere allgemeine Lösung der Differentialgleichung des elektrischen Schwingkreises lautet:

$U(t)={\hat {U}}\cdot \sin \left(\omega \cdot t-\varphi \right)\quad {\text{ mit: }}\quad \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.$

Bestimme ${\hat {U}}$ und die Phase $\varphi$ so, dass sich die spezielle Lösung für die Anfangsbedingungen bei $t=0$:

$U(0)=10\,\mathrm {V} \,,\quad I(0)=0\,\mathrm {A}$

ergibt (siehe Bild).

← Elektromagnetische Schwingung

Elektromagnetische Wellen

Lichtgeschwindigkeit

Maxwell formulierte um 1860 vier Gleichungen (die sog. Maxwell-Gleichungen), die alle Gesetze des Elektromagnetismus enthalten und alle Phänomene der Elektrostatik sowie Elektrodynamik beschreiben. Er leitete dann aus diesen die Existenz elektromagnetischer Wellen ab. Als Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle erhält er:

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\cdot \mu _{0}}}}$

Berechne den Zahlenwert von $c$ und zeige, dass sich die Einheit einer Geschwindigkeit ergibt.

← Maxwellscher Verschiebungsstrom

Polarisation und Gitter

Elektrisches und magnetisches Feld einer ebenen elektromagnetischen Welle.

Eine vertikal polarisierte elektromagnetische Welle trifft senkrecht auf ein Metallgitter, dessen Gitterstäbe um 30° aus der vertikalen Ausrichtung herausgedreht wurden. Bestimme Amplitude und Polarisationsrichtung der reflektierten und der transmittierten Welle, wenn die ursprüngliche Welle die Amplitude $E_{0}$ hat.

← Eigenschaften elektromagnetischer Wellen

Interferenzphänomene

Mikrowellen und Doppelspalt

Eine Mikrowelle mit $\lambda =2.8\,\mathrm {cm}$ trifft auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand $d=60\,\mathrm {mm}$. Bestimme die Richtungswinkel aller beobachtbaren Minima und Maxima. Skizziere den Intensitätsverlauf in Abhängigkeit vom Richtungswinkel.

✘ Lösung ✔

Richtungswinkel der Maxima:

$\alpha _{0}^{\mathrm {max} }=0^{\circ },\;\alpha _{\pm 1}^{\mathrm {max} }=\pm 27.82^{\circ },\;\alpha _{\pm 2}^{\mathrm {max} }=\pm 68.96^{\circ }.$

Richtungswinkel der Minima:

$\alpha _{\pm 1}^{\mathrm {min} }=\pm 13.49^{\circ },\;\alpha _{\pm 2}^{\mathrm {min} }=\pm 44.43^{\circ }.$

← Doppelspalt

Licht und Doppelspalt

Monochromatisches Licht der Wellenlänge $\lambda =460\,\mathrm {nm}$ trifft auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand $d=500\,\mathrm {\mu m}$. Berechne den Abstand der Maxima 2. Ordnung auf einem $L=3\,\mathrm {m}$ entfernten Schirm.

✘ Lösung ✔

Abstand D der Maxima 2. Ordnung:

$D=11.04\,\mathrm {mm}$

← Doppelspalt

Einzelspaltbreite

Monochromatisches Licht der Wellenlänge $\lambda =632\,\mathrm {nm}$ trifft auf einen Einzelspalt. Der Abstand der Minima 2. Ordnung auf einem $L=3.6\,\mathrm {m}$ entfernten Schirm beträgt $D=8.2\,\mathrm {cm}$. Bestimme die Spaltbreite.

✘ Lösung ✔

Spaltbreite $b$:

$b=110.985\,\mathrm {\mu m}$

← Einzelspalt

CD als Reflexionsgitter

Spektralzerlegung mittels CD.

Das Licht eines LASER-Pointers fällt (fast) senkrecht auf eine Compact-Disc (CD). Die Spuren der CD wirken als Reflexionsgitter: Auf einem Schirm in $21\,\mathrm {cm}$ Abstand von der CD findet man die -1. und +1. Beugungsordnung jeweils $7.4\,\mathrm {cm}$ neben der 0. Ordnung, die wiederum knapp neben dem einfallenden Laserstrahl liegt.

• Recherchiere, welchen Spurabstand eine handelsübliche CD aufweist.
• Bestimme aus der Messung die Wellenlänge des LASER-Pointers.

✘ Lösung ✔

Spurabstand einer CD, d.h. die Gitterkonstante $g$ beträgt: $g=1.6\;\mathrm {\mu m}$.
Für die Wellenlänge $\lambda$ findet man damit: $\lambda =532\;\mathrm {nm}$.

← Optische Gitter

Gekipptes Gitter

Ein Beugungsgitter mit 600/mm Strichen wird um den Winkel $\varphi =27^{\circ }$ gedreht.

• Zeige, dass für den Gangunterschied $\Delta$ zweier benachbarter Strahlen gilt:

$\Delta =g\cdot [\sin \varphi +\sin(\alpha -\varphi )]$.

Dabei ist $\alpha$ der Richtungswinkel zum Strahl der 0. Ordnung.

• Bestimme die Richtungswinkel der Maxima $\pm 1.$ Ordnung für Licht der Wellenlänge $\lambda =633\,\mathrm {nm}$.

✘ Lösung ✔

Für die Maxima gilt:

$\Delta =n\cdot \lambda$ mit: $n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$

Eingesetzt und nach $\alpha$ aufgelöst ergibt:

$\alpha =\arcsin \left({\frac {n\cdot \lambda }{g}}-\sin \varphi \right)+\varphi$

und für die Maxima $\pm 1.$ Ordnung mit $n=\pm 1$:

$\alpha _{+1}=22.745^{\circ },\quad \alpha _{-1}=-29.490^{\circ }$.

← Das optische Gitter

Einzelspalteffekte und Doppelspalt

Beugungsbild eines Doppelspalts und das des zugehörigen Einzelspalts.

Das rechtsstehende Bild wurde bei einer Wellenlänge von $\lambda =633\,\mathrm {nm}$ auf einem Schirm in $3.2\,\mathrm {m}$ Abstand von einem Doppelspalt bzw. Einzelspalt aufgenommen. Der gesamte Bildausschnitt hat eine Breite von $120\,\mathrm {mm}$. Bestimme Spaltabstand $d$ und Einzelspaltbreite $b$ möglichst genau.

✘ Lösung ✔

Das gesamte Bild hat 550 Pixel, zwischen den beiden Minima 1. Ordnung liegen 138 Pixel. Damit ergibt sich für den Abstand $D$ der Einzelspalt-Minima:

$D={\frac {138}{550}}\cdot 120\,\mathrm {mm} =30.1\,\mathrm {mm}$.

Für die Spaltbreite $b$ folgt damit:

$b=134.6\,\mathrm {\mu m}$.

Die 7. Ordnung der Maxima des Doppelspalts fällt mit den Minima des Einzelspalts zusammen. Daraus errechnet sich für den Spaltabstand $d$:

$d=7\cdot b=942\,\mathrm {\mu m}$.

← Einzelspalteffekte bei Mehrfachspalt-Experimenten

Gitter und Einzelspalteffekte

Zeige, dass bei einem Liniengitter mit $g=2b$ nur die Maxima der ungerade Beugungsordnungen sichtbar sind.

← Einzelspalteffekte bei Mehrfachspalt-Experimenten

Interferenz an dünnen Schichten

Nur an der ersten Grenzfläche (bei A) tritt beim reflektierten Strahl ein Phasensprung um π auf.

An beiden Grenzflächen (bei A und B) tritt beim reflektierten Strahl ein Phasensprung um π auf.

Gangunterschied

Berechne den Gangunterschied Δ für die Interferenz an einer dünnen Schicht ohne Berücksichtigung möglicher Phasensprünge in Abhängigkeit vom Winkel $\beta$.

✘ Lösung ✔

Im Medium legt die Welle die Strecke $2\cdot {\overline {AB}}$ zurück. Die an der Oberfläche reflektierte Welle stattdessen die Strecke ${\overline {AD}}$. Für die optische Wegdifferenz gilt damit:

$\Delta =2\cdot n_{2}\cdot {\overline {AB}}-n_{1}\cdot {\overline {AD}}$.

Man findet:

${\overline {AB}}={\frac {d}{\cos \beta }}\,,\quad {\overline {AD}}=2d\tan \beta \cdot \sin \alpha$

$\Delta =2d\cdot \left({\frac {n_{2}}{\cos \beta }}-n_{1}\cdot \tan \beta \cdot \sin \alpha \right)={\frac {2d}{\cos \beta }}\cdot \left(n_{2}-n_{1}\cdot \sin \beta \cdot \sin \alpha \right)$.

Mit dem Brechungsgesetz:

${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\quad \Rightarrow \quad \sin \alpha ={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \beta$

folgt:

$\Delta ={\frac {2d\cdot n_{2}}{\cos \beta }}\cdot \left(1-\sin ^{2}\beta \right)=2d\cdot n_{2}\cdot \cos \beta$.

Ersetze in der Beziehung $\Delta =2d\cdot n_{2}\cdot \cos \beta$ den Winkel $\beta$ durch den Einfallswinkel $\alpha$.

✘ Lösung ✔

Mit dem Brechungsgesetz:

${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \alpha =\sin \beta$

und dem Zusammenhang $\cos \beta ={\sqrt {1-\sin ^{2}\beta }}$ folgt:

$\Delta =2d\cdot n_{2}\cdot \cos \beta =2d\cdot n_{2}\cdot {\sqrt {1-\sin ^{2}\beta }}=2d\cdot n_{2}\cdot {\sqrt {1-{\frac {n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}}}\sin ^{2}\alpha }}$.

Damit erhält man schließlich für den Gangunterschied $\Delta$:

$\Delta =2d\cdot {\sqrt {n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\cdot \sin ^{2}\alpha }}$.

← Interferenz an dünnen Schichten

Röntgenstrahlung

Bragg-Reflexion

Bragg-Reflexion wird an einem NaCl-Kristallgitter gemessen.

Berechne den Abstand zweier benachbarter Gitterebenen aus der Dichte $\rho _{\mathrm {NaCl} }=2.16{\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {cm} ^{3}}}$ von NaCl. Ein Mol NaCl wiegt $58.44\,\mathrm {g}$ und enthält $2\cdot N_{\mathrm {A} }$ Ionen.

✘ Lösung ✔

Für das Volumen $V$ eines Mols NACl gilt:

$\rho ={\frac {m}{V}}\;\Rightarrow \;V={\frac {m}{\rho }}$.

Stellen wir uns jedes Ion als Würfel mit Kanntenlänge $d$ vor, so gilt:

$d^{3}\cdot 2\cdot N_{\mathrm {A} }=V\;\Rightarrow \;d={\sqrt[{3\;}]{\frac {V}{2\cdot N_{\mathrm {A} }}}}={\sqrt[{3\;}]{\frac {m}{2\rho \cdot N_{\mathrm {A} }}}}\approx 282.2\,\mathrm {pm}$.

Monochromatische Röntgenstrahlung fällt auf zerriebenes NaCl. Der erste Ring wird unter $\alpha =14^{\circ }$ beobachtet. Bestimme die Wellenlänge $\lambda$ der Röntgenstrahlung und die Winkel, unter denen der zweite und dritte Ring auftreten.

✘ Lösung ✔

Für den Winkel $\Theta$ der Bragg-Bedingung gilt:

$\Theta ={\frac {\alpha }{2}}$.

Damit erhält man für die Wellenlänge $\lambda$:

$\lambda =2d\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}\approx 68.78\;\mathrm {pm}$.

Für die Winkel $\alpha _{n}$ findet man:

$\alpha _{n}=2\cdot \arcsin \left(n\cdot \sin {\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\,,\quad \Rightarrow \quad \alpha _{2}\approx 28.2^{\circ },\,\alpha _{3}\approx 42.9^{\circ }$.

← Bragg-Reflexion und -Bedingung

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