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Primzahlen: IV. Kapitel: Der Primzahl-Satz

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Einleitung

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In diesem Kapitel geht es um die Verteilung der Primzahlen

Die abzählbare Unendlichkeit

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Wie im II. Kapitel: Die Unendlichkeit der Primzahlen gezeigt, bilden die Primzahlen eine abzählbar unendliche Teilmenge der Natürlichen Zahlen. Die Menge der Primzahlen lässt sich also abzählen:

Eine mögliche Zuordnung wäre:

Die Primzahl-Funktion

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Die Funktion gibt die Anzahl aller Primzahlen bis zu einer vorgegebenen Grenze an. So gibt es unter 100 25 Primzahlen, und demzufolge ist . Aber wie lässt sich berechnen?

Mindestens so: falls keine Primzahl ist und falls Primzahl

  • Beispiel
n π(n)
10 4
100 25
1000 168
10.000 1229
100.000 9592
1.000.000 78498

Der Primzahlsatz

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Der Primzahlsatz besagt, wie sich die Primzahl-Funktion asymptotisch verhält. Es zeigt sich, dass sich asymptotisch verhält wie die Funktion , d. h. die Funktionen und sind asymptotisch äquivalent. Formel:

Eine noch bessere Approximation als ist der Integrallogarithmus

Die Ableitung des Integrallogarithmus ist eine Näherung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl eine Primzahl ist:

und
für ungerade Zahlen .