Primzahlen: Vorwort

Vorwort

Es ist schon eine komische Sache mit der Primzahl. Seit mehr als zweitausend Jahren ist sie schon bekannt, diese unteilbare natürliche Zahl. Jede Primfaktorzerlegung ist eindeutig, aber dennoch ist es ab einer gewissen Größenordnung schwer, von einer natürlichen Zahl zu sagen, ob sie eine Primzahl ist oder nicht. Ab einer bestimmten Größenordnung ist es sogar nicht möglich, innerhalb eines Menschenlebens zu bestimmen, ob es sich bei einer Zahl um eine Primzahl handelt.

Der Mensch ist sehr einfallsreich, um hinter die Geheimnisse der Primzahlen zu kommen, aber wie weit er auch kommen mag, den größten Teil wird er wohl immer vor sich haben.

Zur Struktur des Buches:

I. Kapitel: Die Eigenschaften der Primzahl
II. Die Unendlichkeit der Primzahlen
III. Primfaktorzerlegung und andere Methoden
IV. Der Primzahl-Satz
V. Verschiedene Primzahl-Arten
VI. offen

Was ist eine Primzahl?

Was ist eine Primzahl oder besser Wie definiert sich eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei unterschiedliche, natürliche Teiler besitzt. Damit fällt die Eins als Primzahl raus. Eine häufig verwendete Definition lautet: Eine Primzahl ist nur durch Eins und sich selbst teilbar. Diese Definition hat den Nachteil, dass sie, semantisch, die Eins als Primzahl zulassen würde, denn Eins ist durch Eins teilbar, und Eins ist durch sich selbst teilbar. Durch eine explizite Einschränkung Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer 1, die nur durch Eins und sich selbst teilbar ist wird dieser semantische Einwand beseitigt.

Kann man eine Primzahl auch über eine andere Eigenschaft definieren? D.h. gibt es eine Eigenschaft, die charakteristisch ist für Primzahlen? Bis etwa 1900 glaubte man, dass die folgende Eigenschaft nur für Primzahlen gilt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl $p$ , für die gilt: $p$ teilt alle $a^{p}-a$ für alle $a\in \mathbb {N} .$ Diese Eigenschaft ist der kleine fermatsche Satz. Es hat sich aber erwiesen, dass es auch Zahlen mit dieser Eigenschaft gibt, die keine Primzahlen sind. Sie werden Carmichael-Zahlen genannt, nach ihren Entdecker Robert Daniel Carmichael, einem US-amerikanischen Mathematiker.