Pseudoprimzahlen: Fermatsche Pseudoprimzahlen

Pseudoprimzahlen

Der kleine fermatsche Satz besagt, dass $\ a^{p}-a\$ für jede Primzahl$\ p\$und jede natürliche Zahl $a\geq 2\$durch$\ p\$teilbar ist.

Für jede Primzahl $\ p\$ gilt also

$\ a^{p}\equiv a{\pmod {p}}\$ mit $a>1$

und

$\ a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$, wenn $a$ kein Vielfaches von $p$ ist.

(1)

Definition

Eine zusammengesetzte Zahl $q\$ ist fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis $a$, wenn mit $\operatorname {ggT} (a,q)=1$ und $2\leq a\leq q-2\$ für $a\$ und $q\$ gilt:

$a^{q-1}\equiv 1{\pmod {q}}$.

• Beispiel:

$15=3\cdot 5$ ist eine zusammengesetze Zahl

$4^{15-1}\$	$\equiv 1{\pmod {15}}$
$11^{15-1}\$	$\equiv 1{\pmod {15}}$

Anzahl der Basen

Wenn die Primteiler$\ p_{i}\$einer Pseudoprimzahl $n$ bekannt sind, kann die Anzahl der Basen, zu denen sie pseudoprim ist, berechnet werden:

Mit der Faktorisierung

$n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$

ist die Anzahl der Basen $<n$ einschließlich 1 und bei ungeraden Zahlen n-1

$\prod _{i=1}^{k}\gcd(n-1,p_{i}-1)$.

Eigenschaften

Abgesehen von den Dreierpotenzen, also 9, 27, 81, 243, 729, ..., sind alle ungeraden zusammengesetzten Zahlen fermatsche Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis. Bei den geraden zusammengesetzen Zahlen sieht das noch ein wenig anders als. Dort gibt es mehr zusammengesetzte Zahlen, die keine Fermatschen Pseudoprimzahlen sind.

Zusammenhänge zwischen den Basen

Natürlich gibt es zu einer fermatschen Pseudoprimzahl $q\$ niemals nur eine Basis $a\$, zu der sie pseudoprim ist.

Das lässt sich an einer Pseudoprimzahl, sagen wir beispielsweise mal 21, zeigen:

Die 21 ist pseudoprim zur Basis 8.

• Wenn eine ungerade Zahl $\ q\$ zu einer Basis $\ a\$ mit $\ a<q\$ pseudoprim ist, so ist sie auch zur Basis $\ (q-a)\$ pseudoprim.

Da 21 pseudoprim zur 8 ist, ist 21 auch pseudoprim zu (21 - 8) = 13.

• Wenn eine Zahl $\ q\$ zu einer Basis $\ a\$ mit $\ a<q\$ pseudoprim ist, so ist sie auch zu jeder Basis $\ a^{n}\$ mit ganzzahligem Exponenten $\ n>1\$ pseudoprim.

Da 21 pseudoprim zu 8 und 13 ist, ist 21 auch zu $8^{2}=64,\ 13^{2}=169,\ 8^{3}=512,\ 13^{3}=2197,\ ...\$ pseudoprim.

• Wenn eine Zahl $\ q\$ zu einer Basis der Form $\ a^{n}\$ mit $\ n\geq 1\$ pseudoprim ist, so ist sie auch pseudoprim zu $\ a^{n}\operatorname {mod} \ q\$ mit $\ n\geq 1\$
• Wenn eine Zahl $\ q\$ zu den Basen $\ a\$ und $\ b\$ pseudoprim ist, so ist sie auch pseudoprim zu $\ a\cdot b\$: $a^{q-1}\equiv b^{q-1}\equiv 1{\pmod {q}}\quad \Rightarrow \quad a^{q-1}\cdot b^{q-1}=(a\cdot b)^{q-1}\equiv 1{\pmod {q}}$.

Umgekehrt gilt das nicht: zum Beispiel ist 341 pseudoprim zur Basis 15, aber nicht zu 3 oder 5.

Teiler

Für alle Primteiler $p$ einer Fermatschen Pseudoprimzahl $n\$gilt

• $n\equiv 1{\pmod {l_{a}(p)}}$ und damit
• $n\equiv p{\pmod {p\cdot l_{a}(p)}}$,

wobei $l_{a}(p)$ die multiplikative Ordnung von $p$ zur Basis $a$ ist.

Ein paar Daten zu den fermatschen Pseudoprimzahlen

Zu jeder Basis $a\geq 2$ gibt es eine kleinste fermatsche Pseudoprimzahl. In der folgenden Tabelle sind die kleinsten Pseudoprimzahlen bis zur Basis 121 aufgeführt:

Die kleinste fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis a
a	fpsp	a	fpsp	a	fpsp	a	fpsp	a	fpsp	a	fpsp
2:	341	22:	69	42:	205	62:	91	82:	91	102:	133
3:	91	23:	33	43:	77	63:	341	83:	105	103:	133
4:	15	24:	115	44:	65	64:	85	84:	415	104:	145
5:	124	25:	28	45:	76	65:	112	85:	129	105:	451
6:	35	26:	45	46:	133	66:	91	86:	145	106:	133
7:	25	27:	65	47:	65	67:	85	87:	91	107:	133
8:	21	28:	45	48:	91	68:	91	88:	91	108:	341
9:	28	29:	35	49:	66	69:	85	89:	99	109:	117
10:	33	30:	49	50:	119	70:	169	90:	623	110:	259
11:	15	31:	49	51:	65	71:	105	91:	115	111:	190
12:	65	32:	93	52:	85	72:	65	92:	105	112:	121
13:	21	33:	85	53:	65	73:	111	93:	301	113:	133
14:	39	34:	55	54:	265	74:	91	94:	121	114:	205
15:	341	35:	51	55:	63	75:	91	95:	141	115:	133
16:	51	36:	91	56:	95	76:	105	96:	133	116:	195
17:	45	37:	45	57:	65	77:	247	97:	105	117:	145
18:	25	38:	65	58:	133	78:	341	98:	153	118:	121
19:	45	39:	95	59:	87	79:	91	99:	145	119:	177
20:	57	40:	91	60:	341	80:	169	100:	153	120:	187
21:	55	41:	105	61:	91	81:	85	101:	175	121:	133

Wenn man nun alle Pseudoprimzahlen aus der Tabelle, unter der Weglassung der doppelten Pseudoprimzahlen auflistet, bekommt man folgende Folge:

 15,  21,  25,  28,  33,  35,  39,  45,  49,  51,  55,  57,  63,  65,  66,  69,  76,  77,  85,  87,  91,  93,  95,  99,
105, 111, 112, 115, 117, 119, 121, 124, 129, 133, 141, 145, 153, 169, 175, 177, 187, 190, 195, 205, 247, 259, 265, 301,
341, 415, 451, 623 

Das sind 52 Zahlen. Zum Vergleich: Bis 10 existieren 4 Primzahlen, hier sind es 0 Pseudoprimzahlen; bis 100 sind es 25 Primzahlen, hier sind es 24 Pseudoprimzahlen; bis 1000 sind es 168 Primzahlen, hier sind es 52. Allerdings muß man zugestehen, das noch gar nicht alle Pseudoprimzahlen berücksichtigt werden konnten. Wie aber verhält sich die Verteilung der Pseudoprimzahlen nun wirklich? Gibt es innerhab bestimmter Grenzen mehr Pseudoprimzahlen als Primzahlen, oder verhält es sich umgekehrt?

Dabei muß man Unterscheiden. Meint man die fermatschen Pseudoprimzahlen zu einer bestimmten Basis $a\$, so sind es, in definierten Grenzen, weniger Pseudoprimzahlen als Primzahlen:

Basis	Fermatsche Pseudoprimzahlen
2	341, 561, 645, 949, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, ...
3	91, 121, 286, 671, 703, 949, 1105, 1541, 1729, 1891, 2465, 2665, 2701, 2821, 3281, 3367, 3751, ...
4	15, 85, 91, 341, 435, 451, 561, 645, 703, 1105, 1247, 1271, 1387, 1581, 1695, 1729, 1891, ...
5	124, 217, 561, 781, 1541, 1729, 1891, 2821, 4123, 5611, 5662, 5731, 7449, 7813, 8029, ...
6	35, 185, 217, 301, 481, 1105, 1111, 1261, 1333, 1729, 2465, 2701, 2821, ...
7	25, 325, 561, 703, 817, 1105, 1825, 2101, 2353, 2465, 3277, 4525, 4825, 6697, ...
8	21, 45, 63, 65, 105, 117, 133, 153, 231, 273, 341, 481, 511, 561, 585, 645, 651, 861, 949, 1001, ...
9	28, 52, 91, 121, 205, 286, 364, 511, 532, 616, 671, 697, 703, 946, 949, 1036, 1105, 1288, 1387, ...
10	33, 91, 99, 259, 451, 481, 561, 657, 703, 909, 1233, 1729, 2409, 2821, 2981, 3333, 3367, ...

Meint man dagegen die Menge aller fermatschen Pseudoprimzahlen, die zu irgendeiner Basis $a\geq 2$ pseudoprim ist, dann gibt es, in definierten Grenzen mehr Pseudoprimzahlen als Primzahlen:

  15    21    25    28    33    35    39    49    51    52    55    57    63    65    66    69    70    75
  76    77    85    87    91    93    95    99   105   111   112   115   117   119   121   123   124   125
 129   130   133   135   141   143   145   147   148   153   154   155   159   161   165   169   171   172
 175   176   177   183   185   186   187   189   190   195   196   201   203   205   207   208   209   213
 215   217   219   221   225   231   232   235   237   238   244   245   246   247   249   253   255   259
 261   265   267   268   273   275   276   279   280   285   286   287   289   291   292   295   297   299
 301   303   304   305   309   310   315   316   319   321   322   323   325   327   329   333   335   339
 341   

Pseudoprimzahlen