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Quantenmechanik/ Drehimpuls-Kopplung

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Tensorprodukte

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In der Quantenmechanik werden größere Systeme aus kleineren zusammengebaut, indem man vorerst annimmt, sie würden sich nicht beeinflussen. Wie vereint man die kleinen Zustände zu einem größeren? Etwa so wie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von zwei unabhängigen Zufallsvariablen a und b mit Maßen und zusammenkommen: Man nehme das Produkt davon, . Weil die Betragsquadrate von Wellenfunktionen auch solche Wahrscheinlichkeiten sind, liegt es nahe, dass die vereinte Wellenfunktion ihr Produkt ist. Sie hängt von den zwei Ortskoordinaten gleichzeitig ab.

Mit einer Basis für jedes der zwei Teilsysteme, und wird dann die Menge aller Produkte eine Basis für das binäre System. Und da schlägt das Superpositionsprinzip zu. Nicht nur diese Produkte, alle Linearkombinationen von ihnen sind zulässige Quantensysteme. Die reinen Produkte sind die entkoppelten Zustände, während die Kombinationen wie die verschrænkten Zustände darstellen.

Mathematisch ist der Vektorraum des gekoppelten Systems das Tensorprodukt der zwei Komponenten-Räume. Für Funktionenräume und Räume aus Tupeln ist dies intuitiv der Raum der linear aufgespannt wird von allen Produkten des Typs oder , wobei sich die eingelieferten Argumente und Indizes zu einer längeren Liste verketten.

Die reine Mathematik macht Klimmzüge über die Dualräume um das Tensorprodukt ultimativ sauber und allgemein zu definieren.

Gegeben zwei Vektorräme A und B, notieren wir ihr Tensorprodukt als . Ein Operator auf wird ausgeweitet auf das Produkt, indem er die Identität ist für alles was aus B kommt. Notation für die Portierung auf . Entsprechend für Operatoren, die aus B stammen. Sei zum Beispiel ein Drehimpuls-Operator auf A, und ein Drehimpuls-Operator auf B. Dann ist die Summe von beiden definiert auf dem Produktraum:

. Es ist der Gesamt-Drehimpuls. Der erste Teil

macht partielle Ableitungen nach den Koordinaten, der zweite nach den Koordinaten.

Die typische Situation: Der Hamilton-Operator vertauscht mit dem Gesamt-Drehimpuls . Wir kennen die Quantenzahlen der Teilsysteme mit und , beispielsweise seien es Darstellungen der Dimensionen und . Aber die gesuchten stationären Zustände sind Eigenräume zu . Welche Werte von sind also möglich und wie kombiniert man sie aus den eingebrachten Drehimpulsen zusammen?

Die erwünschte Technik ist das Ausreduzieren von einem Tensorprodukt in irreduzible Komponenten. Eingeliefert wurden zwei Vektorräume, irreduzibel under der Drehgruppe mit Quantenzahl . Symbolisch .

Am Ende will man den Produktraum in irreduzible Komponenten spalten, ihn zerlegen in die direkte Summe von Teilräumen mit definierten Drehimpulsen. Symbolisch :

.

Die Teile gehören zu verschiedenen Eigenwerten von und sind orthogonal.

Addition der Drehimpulse

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Der Produktraum hat Dimension . Die Operatoren und vertauschen miteinander und mit den drei Komponenten .

Sei das Tensorprodukt aus zwei Komponent-Eigenvektoren. Er ist Eigenvektor zu mit Eigenwert , denn nach Definition der Operator-Ausweitung holt den Faktor und den Faktor aus dem Produkt ab. Er ist nicht Eigenvektor zu . Für diesen Operator wünschen wir eine Eigenvektorbasis.

Seien Quantenzahlen und vorgegeben, und bezeichne die eines irreduziblen Teilraums, also Eigenraum zu , enthalten im Tensorprodukt. Wie oft kann ein gegebenes in vorkommen? Sei diese unbekannte Zahl. Eine Gleichung verbindet mit einer anderen Unbekannten, , Zahl der entarteten Eigenvektoren von zum Wert . kann nicht vorkommen, wenn ein kleiner als ist. Daher

. Speziell für m=j und m=j+1 :
Die Differenz beider Gleichungen ergibt:

Auf dem rechteckigen Raster der Paare

im Schritt 1

ist nachzuzählen, wie viele Fälle vorkommen. Das ergibt und ist die Zahl der Punkte auf einer Diagonalen des Gitters.

Wenn . Sei nun .
Wenn
Wenn

Speziell die Differenz ist genau dann 1, wenn zwischen und mit Schritt 1 liegt. Alle anderen verschwinden.

Ergebnis ist das Additionsprinzip für Drehimpulse:

Die möglichen Werte der Quantenzahl im Tensorprodukt sind mit Schrittweite 1. Zu jedem Wert von gibt es genau einen Darstellungsraum in der Zerlegung.

Zwei Teilchen mit Spin=1/2 geben im Produkt Zustände mit Drehimpuls , ein Singlett, und solche mit , ein Triplett.

Ein Spin=1/2 kombiniert mit Bahndrehimpulsen zu zwei Komponenten und . Bloß zu gibt es nur eine Kombination .

Zwei Objekte mit Drehimpuls 1 ergeben gekoppelt einen Produktraum der Dimension 9, der in Drehimpuls-Eigenräume der Dimensionen 1+3+5 zerfällt,

.

Basis der Produktzerlegung, Clebsch-Gordan Matrix

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Zu jedem erlaubten Paar im Produktraum hat die Zerlegung einen Eigenvektor, genannt . Diese Eigenvektoren zusammen sind eine orthonormale Basis des Produkts. Eine andere orthonormale Basis sind natürlich die Tensorprodukte aus den Basen der Faktoren, wir notieren

Es gibt eine unitäre Matrix, die die neue Eigenbasis als Linearkombinationen der ungekoppelten Produkte ausdrückt, die C-G-Matrix:

Die irreduziblen Teilräume sowie die 2 Faktoren werden mit den Standard-Matrizen und Basen beschrieben, wie im Drehimpuls-Kapitel besprochen. Das ist immer möglich. Dann ist die C-G-Matrix bis auf Phasen eindeutig festgelegt. Die Notation sei vereinfacht: .

In Worten: die gesuchten Eigenvektoren werden entwickelt in der Basis der (ungekoppelten) Produktzustände.

Um weiter rechnen zu können, legt man eine Phasenkonvention fest: Wenn und , dann sei der C-G Koeffizient reell und positiv:

reell .

Wegen der Auswahlregeln ist in diesem Matrixelement .

Es gibt Rekursionen für alle anderen Eintragungen, mit reellen Zahlen. Alle Elemente der Matrix werden reell. Diese ist nicht nur unitär, sondern sogar orthogonal. Alle Spalten stehen senkrecht aufeinander, alle Zeilen auch.

Algorithmus zum Aufbau der C-G Matrix

Sei maximal und . Dann kommt nur ein Produktvektor in der Zerlegung in Frage: , womit eine Spalte der Matrix steht. Anwenden von auf beide Seiten ergibt alle . Danach wird gesucht, rell und positiv nach Phasenkonvention. Man nutzt seine Orthogonalität zu . Wiederhole den Algorithmus bis die Matrix ganz gefüllt ist.

Rekursionen innerhalb der m-Eigenwerte für ein gegebenes j:

Setze

Einfachstes Beispiel, die Abbildung zweier Spin-1/2 auf Singlett und Triplett.

Die angelieferte Produktbasis wird schöner mit Spin-Up/Down Symbolen:

.

Das Triplett und das Singlett werden in dieser Basis ausgedrückt.

Auf der Unterseite: Clebsch-Gordan-Skript
wird ein Skript besprochen, das Clebsch-Gordan-Matrizen ausrechnet.

Spin-Bahn-Kopplung

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Irreduzible Tensor-Operatoren

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Beispiel: Reduzible Tensoren

Die Multilinearformen von n -Vektoren sind Objekte, die bei Drehungen unter sich bleiben. Ihr Vektorraum ist das Tensorprodukt von n Kopien des Dualraums zum . Zu einer Form soll die gedrehte Form einfach so definiert werden, dass alle Auswertungen Skalare sind. R sei eine Rotations-Matrix:

.

Die homogenen Polynome vom Grad n sind auch drehinvariante Vektorräume. Diese Polynome sind der Teilraum der total symmetrischen Multilinearformen. Zum Beispiel sind symmetrische Bilinearformen eindeutig durch ihre quadratische Form gegeben: .

Bilineare Formen, haben eine Basis aus den 9 Monomen . Eine Form B ist als 3x3-Matrix dargestellt. Der Teilraum der symmetrischen Bilinearformen sind die quadratischen Formen. Wegen für Drehmatrizen transformiert sich eine Form als invarianter Skalar,

.

Die bilinearen Formen zerfallen in 3 dreh-invariante Teilräume:

1. Dimension 1: Standard-Skalarprodukt, Basis
2. Dimension 3: Antisymmetrische Matrizen, Basis ist das Vektorprodukt
3. Dimension 5: Spurfreie symmetrische Matrizen, Basis als quadratische Monome

Symbolisch ist die Zerlegung ; Summe der Dimensionen 1+3+5=9. Das Tensorprodukt von zwei Dreiervektoren ist also zerlegbar in die drei irreduziblen Teile: Skalar, Vektor, Tensor. Sie entsprechen den irreduziblen Darstellungen zu Drehimpulsen 0,1 und 2. Die ganzzahligen Darstellungen der Drehgruppe sind reell, obwohl sie sich quantenmechanisch lieber als komplexe hermitesche Matrizen verkleiden. Die Kugel(flächen)funktionen sind Standardbasen dieser Darstellungen.

Die spurfreien Quadratformen lassen sich in den 5 Kugelfunktionen ausdrücken. Diese sind nämlich folgende Polynome in den Variablen (Normierung verschludert. Länge ).
Den drei Linearformen entsprechen die 3 Kugelfunktionen .

Skalare, Vektor-, Tensor-Operatoren

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Observable der Quantenmechanik sind Operatoren. Es gibt darunter Skalare wie z.B. den Hamilton-Operator, Vektoren wie Ortsvektor, Impuls oder Drehimpuls, sowie Tensoren. Bei Drehungen um einen zentralen Punkt ändert sich ein Skalar S nicht. Als Operator gesehen, vertauscht S mit den Operatoren, welche die Drehungen erzeugen, also mit . Ein Vektor-Operator hat mehrere Komponenten , die bei Drehungen mit einer Darstellungsmatrix R transformiert werden müssen, so wie auch die Ortskoordinaten von Punkten umgerechnet werden. Ein Tensor ist ein Objekt höherer Ordnung mit beispielsweise drei Indizes und er transformiert seine Komponenten mit dem Tensorprodukt aus drei Kopien einer Darstellungsmatrix. Physikalisch tauchen Tensoroperatoren beliebig hoher Ordnung auf etwa bei der Entwicklung eines Potenzials in eine Reihe von Multipolen.

Aus den Mengen der Hilbert-Vektoren, die die Zustände eines Quantensystems abbilden, kann man Teilräume abspalten, die sich irreduzibel under der Drehgruppe transformieren und isomorph sind zu genau einem der Darstellungräume mit einer Basis der Dimension (2j+1). Aus den indexierten Mengen von Vektor-und Tensor-Operatoren kann man genauso die kleinstmöglichen unzerlegbaren linearen Teilräume isolieren. Auch die gehören dann zu einer irreduziblen Darstellung (2j'+1) der Drehgruppe.
Worum es in diesem Abschnitt geht, ist das Zusammenspiel in Matrixelementen von den Hilbertvektoren und den Operatoren, etwa . Welche Vorhersagen lassen sich treffen, wenn u,A und v zu drei irreduziblen Darstellungsräumen mit verschiedenen Drehimpulsen gehören?

Skalarer Operator.
Vorbemerkung: In diesem und folgenden Abschnitten wird mit dimensionslosen Dreh-Generatoren gerechnet, also wo das rechte der physikalische Drehimpuls ist.
Ein Operator S habe mit einem Paar von irreduziblen Basen die Matrix . Hier seien u,v andere Quantenzahlen als die der Drehimpulse. Sie wählen einen Unterraum von Zuständen und seine Standardbasis aus. Aus folgt, dass die Matrixelemente verschwinden, wenn Eigenwerte sind. Aus folgt, dass auch ungleiche Eigenwerte Null ergeben. Es gibt also nur Matrixelemente vom Typ . Weil S auch noch mit den zwei adjungierten Leiteroperatoren vertauscht, die mit gleichen Multiplikatoren die Basis durchlaufen, folgt weiter

. Denn:

Also ist das Matrixelement von der Quantenzahl M unabhängig. Operator S ist mit einem einzigen reduzierten Matrixelement s(u,v) auf irreduziblen Teilräumen vollständig charakterisiert.

Auf dem Hilbertraum der Zustände sei eine Darstellung D der Drehgruppe SO(3) vorhanden. Es gibt invariante Teilräume, deren Basis sich mit den Standardmatrizen einer irreduziblen Darstellung transformiert:

.

Die Standarddarstellung ist über ihre Erzeuger, die Drehimpulse , eindeutig definiert:

.

Man beachte die Konvention, dass bei Basistransformationen -- im Gegensatz zu Komponenten-Transformationen bei gleicher Basis -- die Matrix hinter die linearkombinierten Objekte gestellt wird. Auf den Raum der Operatoren wird die Darstellung D so losgelassen, dass

gilt, also .

Physikalisch relevante Darstellungen sind unitär, so dass die Matrixelement von A erhalten bleiben: .

Es ist also die induzierte Darstellung auf dem Raum der Operatoren. Daher ist es logisch, auch dort wie im Zustandsraum die kleinsten irreduziblen Tupel oder Teilmengen von Objekten zu isolieren.

Definition Irreduzibler Tensoroperator:
Man definiert einen irreduziblen Tensoroperator als eine Sammlung von (2k+1) Operatoren, Index q von (-k) bis (k), die sich exakt wie die irreduzible Darstellung zum Drehimpuls k transformieren:

Das Kriterium lässt sich äquivalent mit den Erzeugern formulieren. Ein Erzeuger mit agiert auf Operatoren als Kommutator, denn: .

  • Aktion von D, Element einer Lie-Gruppe auf Vektoren v, Operatoren A:
  • Aktion von L aus einer Lie-Algebra auf (v,A):
.

Ein irreduziber Tensoroperator hat folgende Regeln mit Drehimpulsoperatoren:

Dies genau definiert eine Standardbasis der Darstellung mit Dimension (2k+1).

Die hermitesch adjugierten Operatoren zu formen auch eine irreduzible Menge zur selben Darstellung, wenn sie folgendermaßen gruppiert werden:

.

Skalare Operatoren sind irreduzible Tensoroperatoren der Ordnung Null. Vektor-Operatoren , die häufigste Kategorie in diesem Zusammenhang, werden zu Tensoroperatoren vom Drehimpuls 1 mittels Linearkombinationen.
So nämlich kann ein Vektor-Operator umgeschrieben werden als Tensoroperator zum Drehimpuls 1:

.

Zum Nachweis wird ausgerechnet, dass die Lie-Algebra der Drehgruppe, welche in Form von auf den die Standardabbildung liefert, umgerechnet auf Vektorkomponenten die Raumdrehungen erzeugt. Mit errechnete äquivalente Tabelle für :

Es sind dies tatsächlich die infinitesimalen Drehungen um die drei Achsen. Versehen mit dem konventionellen Faktor i, weil die PhysikerInnen unbedingt hermitesche Operatoren wollen.

Die (2k+1) Kugelflächenfunktionen werden verwendet als multiplikative Operatoren etwa in einer Multipolentwicklung des Potenzials. Sie sind eine Folge von irreduzible Tensoroperatoren zu jeder Zahl k.

Satz von Wigner-Eckart

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Gegeben seien drei Dinge, im Rahmen einer unitären Darstellung :

  • Ein Operator-Tupel als irreduzibler Tensoroperator vom Typ
  • Eine erste Unterraum-Basis zur irreduziblen Darstellung
  • Eine zweite Basis zur irreduziblen Darstellung

u,v sind irgendwelche Quantenzahlen, die die Unterräume auswählen.

Behauptung: Die Matrixelemente der Operatoren T können geschrieben werden als eine einzige Zahl, die nicht von abhängt, mal einem Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Genauer, mit einem konventionellen Faktor gilt:

.

Der Ausdruck mit den Doppel-Betragsbalken heißt das reduzierte Matrixelement.

Korollar. Die Matrixelemente sind nur dann von Null verschieden, wenn und . Diese Eigenschaft der CG-Koeffizienten wird gerne so als Auswahlregel formuliert:
Die Matrixelemente jeder Linearkombination des Tensoroperators verschwinden zwischen zwei Drehimpulsen , außer wenn .

Beweis. Es gibt die Vektoren indiziert mit . Man kombiniert sie mit der Clebsch-Gordan-Matrix zu neuen Drehimpulsen:

Umkehrformel wegen der Orthogonalität der CG-Matrix:

Nichts garantiert, dass die neuen linear unabhängig sind. Es wird jedoch mit Hilfe aller bekannten Rechenregeln für Standardbasen und CG-Matrix gezeigt, dass nichtverschwindende Teilmengen, falls sie existieren, Standard-Eigensysteme mit den Drehimpulsen bilden.

Abkürzungen:

Wegen der aufsteigenden Rekursion der CG-Matrix ist die geschweifte Klammer

Nach dem selben Ritus erhält man noch folgende Eigenschaften:

Folgerung: Für jeden Wert sind die Vektoren entweder alle Null oder sie spannen eine irreduzible Darstellung zur Quantenzahl auf. Alle ihre Skalarprodukte mit den Bras sind entweder Null, oder aber und die Skalarprodukte sind mit einer Konstanten. Denn Eigenvektoren von oder zu verschiedenen Werten sind orthogonal. Ähnlich wie oben beim skalaren Operator folgt mit den Auf/Absteige-Operatoren, dass die Produkte für alle m gleich sind.
(Es gibt ein ganz allgemeines Lemma von Schur, wonach unitäre irreduzible Darstellungen sich auf keine andere Weise überlappen können, wenn sie Unterräume desselben Hilbertraums sind.)
Es folgt nun mit der zuletzt hingeschriebenen Umkehrformel:

.

Und dies ergibt die behauptete Wigner-Eckart-Formel.

Ein Vektoroperator hat die Auswahlregeln: und ist nicht erlaubt.

Anwendung

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Multipolmomente
der Atomkerne helfen dabei, die Prozesse zu analysieren, bei denen Gammastrahlung ausgesendet wird. Elektrische Multipole (-Pole) sind irreduzible Tensoroperatoren von der Ordnung l mit Parität . Magnetische -Pole sind solche mit der anderen Parität . Wenn ein derartiger Multipol als Operator im Rahmen einer Störungsrechnung zwischen Zuständen auftaucht, , dann können nur Übergänge mitspielen, die in den Grenzen liegen. Für jedes erlaubte Tripel sind die Amplituden als Funktion der gemäß Wigner-Eckart mit den Clebsch-Gordan-Koeffizienten vorherzusagen.
Außerhalb einer zentralen Ladungsverteilung kann ein Potenzial, das die Laplace-Gleichung löst, in Kugelfunktionen entwickelt werden:

Für jedes k bilden die als Faktoren einen irreduziblen sphärischen Tensoroperator im Sinne von Wigner-Eckart. Seine Koeffizienten definieren das elektrische -Pol-Moment.

Drehimpuls und andere Vektoroperatoren
Der Drehimpuls vom Vektor-Operator zum sphärischen Tensor umgeformt:

Zwischen zwei Eigenvektoren zum Drehimpuls j und zu nach Wigner-Eckart:

.

Es gibt nun folgende Formeln für spezielle Clebsch-Gordan-Werte:

Damit kommt hier heraus:

.

Wigner-Eckart kann die Matrizen jedes Vektoroperators A relativ zu J ausdrücken:

Für den skalaren Operator und folgt daraus

Die Konstante c hängt nicht von u,v oder den Eigenschaften von ab. Daher wird c ausgewertet mit . Damit folgt

.

Einsetzen liefert die Matrix von mit Eigenvektoren vom Drehimpuls j:

Die Matrix ist auf Konstanten und eine Diagonale in m mit dem skalaren Operator eingedampft worden.

Magnetisches Moment eines Atoms.
Das magnetische Moment ist ein Vektoroperator, der aus einem Bahndrehimpuls und einem Gesamtspin linearkombiniert wird: . Der totale Drehimpuls ist der Vektoroperator . Als magnetisches Moment im Zustand j definieren wir den maximalen Erwartungswert

Die Formel zur Reduktion aufs Skalarprodukt wird angewandt.

.
Mit

In einer gängigen Approximation wird ein Atom-Grundzustand mit einer LS-Kopplung beschrieben. ist ein Eigenzustand zu und mit Drehimpulsen l und s, und die g-Faktoren sind . Damit folgt schließlich

  • .

Der Ausdruck in eckigen Klammern heißt der Landé-g-Faktor für LS-Kopplung.

Spin-Spin-Operator.
Phänomenologisch wird die Kraft zwischen zwei Nukleonen mit einem Hamilton-Operator angenähert, der sich aus dreh-invarianten Termen aufbaut. Die Bausteine sind vier Vektor-Operatoren: der relative Ort, der relative Impuls, die zwei Spins. Daraus zusammengesetzt sind die Operatoren Bahndrehmoment , Gesamtspin , Gesamt-Drehmoment .
Der Modell-Hamiltonoperator ist rotationssymmetrisch um den Schwerpunkt herum:

Alternativer Ausdruck: .
Und:
weil beide Spins den Eigenwert haben.
Auch: für jede Richtung von .
Also: .

Damit lässt sich der Term mit verpacken als:

.

Dem Operator hier gab man genau diese Form mit der Zahl 3 drin, weil er damit eine Kontraktion von zwei irreduziblen Tensor-Operatoren der Dimension 5 (der Drehimpuls-Quantenzahl 2) ist. Man rechnet nämlich aus, dass das Polynom sich aus den 5-Tupeln aufbaut.
Als Operatoren vertauschen alle Paare und , aber Achtung, nicht alle Paare . Besser würde der folgende Ausdruck mit voll symmetrischen Termen geschrieben -- es wären die Antikommutatoren einzusetzen.

.

Der Teil mit den Quadraten gerät ganz wie gewünscht:

und damit ist P bilinear in den zwei spurfreien symmetrischen Quadratformen. Der Teil der Wechselwirkung zwischen Spins heißt auch die Tensorkraft.

Bahndrehimpuls und Spin

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Zur Addition der Operatoren von Bahndrehimpuls und Spin (pingelig: von mit Eigenwerten .
Dies ist ein Spezialfall der Clebsch-Gordan-Matrix, explizit ausgerechnet. Bei den Normierungen im Folgenden hilft die Gleichung .
Sei eines der Operator-Paare mit Eigenwerten und Eigenvektoren . Der Absteige-Operator ist

Orthonormale Vektoren sind die Tensorprodukte von (2l+1) Eigenvektoren zu , also , mit einem Spinorpaar . Die Produktvektoren werden notiert als . Gesucht sind Eigenvektoren zum Operator , und seiner Komponente , Notation hier: .
j kann die 2 Werte haben.

Der Vektor ist bereits ein normierter Eigenvektor zu mit Werten .
Wertebereich von j3 ist mit Schritt 1.

Wiederholte Anwendung des Operators .

Allgemein ergeben sich Vektoren als Paarkombinationen aus . Durch vollständige Induktion mit Anwenden des Absteigers zeigt man für halbzahlig:

Der zweite -Unterraum des Tensorprodukts gehört zu j=M-1. Es beginnt mit einer Linearkombination aus , die orthogonal zu sein muss. Mit reellen, positiven Koeffizienten findet man

.

Allgemein muss orthogonal sein zu und man erhält diese Paarkombination, die ebenfalls durch Induktion mit dem Absteige-Operator bewiesen wird:

Die skalaren Wellenfunktionen des Wasserstoff- Atoms müssen zu zweikomponentigen Spinoren aufgewertet werden.

Die Eigenzustände zu bekommen den halbzahligen Eigenwert (j) als Index angehängt an die Standard-Bezeichnung des Wasserstoff-Niveaus, von dem sie abstammen. Zum Beispiel gibt es . Diese sind Zustands-Räume der Dimensionen (2j+1) = 2;2;4. Wie später drankommt, macht der genauere Hamilton-Operator es nötig, mit spin-behafteten Orbitalen zu rechnen.

Beispiele

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