Statistische Mechanik/ Bose-Einstein-Statistik

Wir betrachten eine Vielteilchen-Wellenfunktion

$\psi (x_{1},x_{2},...,x_{n})$

von n Teilchen an den Positionen $x_{i}$ für $i\in \{1,\dots ,n\}$. Wenn wir nun die Plätze von zwei verschiedenen Teilchen vertauschen, so beobachten wir, dass sich physikalisch nichts verändert. Also es gilt $\psi (x_{1},x_{2})=\psi (x_{2},x_{1})$ im Falle einer Zweiteilchen-Wellenfunktion. Teilchen, bei denen die Wellenfunktion bei Koordinaten-Permutation sich nicht verändert, werden Bosonen genannt. Die Spinzustände von Bosonen haben immer ganzzahlige Werte. Eine wichtige Eigenschaften für Bosonen ist, dass beliebig viele Bosonen in ein und demselben Quantenzustand sein können. Außerdem muss die Anzahl der Bosonen in einem abgeschlossenen System nicht unbedingt eine Erhaltungsgröße sein. Beispiele von Bosonen sind folgende Teilchen:

• Photonen (Lichtquanten; diese erzeugen auch die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen)

• Phononen (Schwingungsquanten in Festkörpern)

• Teilchen, die aus einer geradzahligen Anzahl von Elementarteilchen aufgebaut sind

Es ist möglich, im Fall nichtwechselwirkender Bosonen die Zustandssumme zu berechnen. Angenommen, wir wissen, dass das Bosonen-Vielteilchensystem die Energieeigenwerte $E_{0},E_{1},E_{2},\dots$ (Grundzustand ist $E_{0}$) hat. Dann lautet der Hamilton-Operator für das wechselwirkungsfreie System:

${\hat {H}}=\sum _{i=0}^{\infty }E_{i}{\hat {N}}_{i}$.

Die Operatoren ${\hat {N}}_{i}$ sind Besetzungszahloperatoren; diese ordnen einem Vielteilchenzustand die Anzahl der Teilchen im i-ten Energieeigenzustand zu. Also, sei $|X>$ ein Vielbosonenzustand, so gilt ${\hat {N}}_{i}|X>=N_{i}|X>$ mit der Anzahl der Teilchen im i-ten Zustand $N_{i}$. Der großkanonische Dichteoperator für einen Gesamtteilchenzahloperator ${\hat {N}}$ lautet nun:

${\hat {\rho }}=e^{-\beta ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}=e^{-\beta \sum _{i=0}^{\infty }(E_{i}-\mu ){\hat {N}}_{i}}$.

Wir können die Spur des Operators berechnen, indem wir über eine vollständige Hilbertraum-Basis, hier: alle möglichen Verteilungen an Bosonen auf die Energiezustände, die Spur berechnen. Berücksichtigen wir noch die beliebige Anzahl an Bosonen für einen einzelnen Quantenzustand, so erhalten wir

$Z(\beta ,\mu )=Tr({\hat {\rho }})=\sum _{N_{1}=0}^{\infty }\sum _{N_{2}=0}^{\infty }\dots \sum _{N_{\infty }=0}^{\infty }e^{-\beta \sum _{i=0}^{\infty }(E_{i}-\mu )N_{i}}=\prod _{i=1}^{\infty }\sum _{N_{i}=0}^{\infty }e^{-\beta (E_{i}-\mu )N_{i}}$.

Um den obigen Ausdruck zu vereinfachen, benutzen wir die geometrische Reihe $\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}}$ für jedes $x<1$. Wir erhalten:

$Z(\beta ,\mu )=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-e^{-\beta (E_{i}-\mu )}}}$.

Wir interessieren uns nun für die Gesamtteilchenzahl. Diese erhalten wir durch Differenzieren nach dem chemischen Potential:

$<{\hat {N}}>={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial lnZ}{\partial \mu }}=-\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}ln(1-e^{-\beta (E_{i}-\mu )})=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {e^{-\beta (E_{i}-\mu )}}{1-e^{-\beta (E_{i}-\mu )}}}=\sum _{i=1}^{\infty }<{\hat {N}}_{i}>$.

Damit halten wir den Erwartungswert der Teilchenzahl im i-ten Zustand:

$<{\hat {N}}_{i}>={\frac {1}{e^{\beta (E_{i}-\mu )}-1}}$.

Dies ist die Bose-Einstein-Statistik.