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Statistische Mechanik/ Fermi-Dirac-Statistik

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Wenn eine Vielteilchen-Wellenfunktion bei Permutation von zwei Teilchenpositionen ihr Vorzeichen ändert, so hat man eine Wellenfunktion für Fermionen; also wenn z.B. im Falle von einem Zweiteilchensystem gilt, hat man eine Fermionen-Wellenfunktion. Für diese Fermionen-Wellenfunktion gilt dann speziell $\psi(x,x) = - \psi(x,x)$, woraus folgt. In anderen Worten: Ein und derselbe Ortszustand darf nicht zweimal oder mehrfach besetzt werden, die Wellenfunktion und damit Wahrscheinlichkeitsdichte wäre in diesem Falle Null. Generell gilt bei Fermionen das Pauli'sche Ausschlussprinzip: Ein bestimmter Quantenzustand darf immer nur von einen einzigen Fermion besetzt werden! Fermionen haben immer halbzahligen Spin. Alle Elementarteilchen, die Materie aufbauen, sind Fermionen. Beispiele für Fermionen sind:

  • Elektronen
  • Neutrinos
  • Quarks (Bestandteile der Protonen und Neutronen)
  • Teilchen, die aus einer ungeradzahligen Anzahl von Elementarteilchen aufgebaut sind, dazu gehören auch etwa Neutronen und Protonen, da beide aus 3 Quarks bestehen

Sei das Spektrum von Energieeigenwerten eines Vielfermionensystems durch gegeben, so gilt für den Hamiltonoperator im Falle von nichtwechselwirkenden Fermionen:

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Die Zustandssumme für ein ideales, nichtwechselwirkendes Fermionensystem lautet (mögliche Fermionenzustände gibt es nur zwei: unbesetzt () und besetzt ()):

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Daraus lässt sich leicht die Anzahl der Teilchen berechnen:

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Für den Erwartunswert der Besetzungszahl im i-ten Zustand gilt für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik:

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