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Martingale mit diskreter Zeit – Wahrscheinlichkeitstheorie

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Satz (Doob-Zerlegung):

Es sei ein stochastischer Prozess. Dann gibt es ein Martingal und einen vorhersehbaren Prozess , sodass

gilt, sowie . Ferner sind und bis auf Nichtunterscheidbarkeit eindeutig definiert.

Beweis: Zunächst beweisen wir die Eindeutigkeit. Angenommen, es gäbe eine solche Zerlegung. Dann würde gelten

,

d. h.

.

Diese Rekursion löst sich auf zu

.

Es würde außerdem gelten

.

Damit sind und bis auf Nichtunterscheidbarkeit eindeutig definiert. Andererseits kann man leicht prüfen, dass ein Martingal und vorhersehbar sind.

Proposition (Martingalkriterien basierend auf der Doob-Zerlegung):

Es sei die Doob-Zerlegung eines stochastischen Prozesses. Dann ist ein Submartingal genau dann, wenn . Analoges gilt für Supermartingale und Martingale.

Beweis: Dies folgt unmittelbar aus

.

Definition (Martingal-Transformation):

Es sei ein Martingal und ein vorhersehbarer Prozess. Dann ist die Martingal-Transformation von definiert als der Prozess

.

Dieselbe Definition gilt für Sub- und Supermartingale.

Proposition (Martingaltransformation bewahrt Martingale):

Falls ein Martingal und ein gleichmäßig beschränkter (im Sinne von ) vorhersehbarer Prozess ist, so ist ebenfalls ein Martingal. Analoges gilt für Sub- und Supermartingale.

Beweis: Dies folgt mit

;

Die zeitpunktweise -Beschränktheit ist leicht mit der Dreiecksungleichung nachzuweisen.

Satz (Supermartingal-Konvergenzsatz von Doob):

Es sei ein -beschränktes Supermartingal. Dann gibt es eine Zufallsvariable , die fast nie unendlich ist, sodass

fast sicher .

Beweis: Für diesen Beweis sehen wir als den Stand einer Aktie zum Zeitpunkt an. Es seien . Dann verfolgen wir folgende Anlagestrategie: Wir arbeiten mit einer einzigen Aktie. Wenn die Aktie unter ist, so kaufen wir sie. Wenn die Aktie über gestiegen ist, verkaufen wir die Aktie. Die Intuition ist, dass wenn man das immer wiederholt, man jedes Mal einen Gewinn von macht.

Diese Anlagestrategie wird verkörpert durch den vorhersehbaren stochastischen Prozess

,

der so gewählt ist, dass der Gewinnprozess durch die Martingal-Transformation gegeben ist. Allerdings ist folglich ein Supermartingal, und daher gilt (wenn man die Notation für die Anzahl der sog. "upcrossings", also der Anstiege von unter bis über , verwendet), dass

,

wobei der zweite Term ganz rechts darin begründet ist, dass man genau soviel verlieren kann, wenn die Aktie bis zum Zeitpunkt gar nicht über hinausgestiegen ist. Hieraus folgern wir mit dem monotonen Konvergenzsatz, dass

( ist ja -beschränkt),

und daher

.

Falls nun nicht konvergiert, so gibt es rationale Zahlen , sodass

.

Definieren wir also

für , so gilt

;

aber diese Menge ist als abzählbare Vereinigung von Nullmengen selbst eine Nullmenge.

Hieraus ersieht man die fast sichere Konvergenz; der Limes (nennen wir ihn ) existiert also für fast jedes als Wert in . Um die fast sichere Konvergenz zu beweisen, verwendet man das Lemma von Fatou: